复合函数的求导

2023-03-14 09:08:12 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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复合函数的求导

复合函数的求导是指根据微积分法则，求解复合函数中每个函数关于一定变量的一阶偏导数的过程。复合函数是由两个或两个以上的函数组合而成的新函数，常见的有加减乘除、取幂、取对数等等。因此，要求复合函数的导数，就需要根据微积分法则，把复合函数分解开来，依次求每个函数关于一定变量的一阶偏导数，然后再把这些偏导数组合起来，就可以得出复合函数关于该变量的一阶偏导数了。这里要特别提出的是：当复合函数中包含有多个变量时，要求复合函数的导数，就不能按上述方法去分解复合函数，而是需要使用梯度法则或者链式法则来求解。

关于“复合函数的求导”，首先要明确的是，“求导”是求解某个函数在某点的一阶偏导数的过程。而复合函数，就是把两个或者两个以上的函数组合起来形成的新函数，如加法函数、减法函数、乘法函数、除法函数、取幂函数、取对数函数等等，所以要求复合函数的导数，就要根据微积分法则，把复合函数分解开来，依次求每个函数关于一定变量的一阶偏导数，然后再把这些偏导数组合起来，就可以得出复合函数关于该变量的一阶偏导数了。

例1：求f(x)=x^3+2x^2-5x+8的导数。解：将f(x)分解成复合函数：

f(x)=x^3+2x^2-5x+8 = (x^3+2x^2)+(5x-8) 求f(x)的导数，即求

f'(x)=(x^3+2x^2)'+(5x-8)'

这里，(x^3+2x^2)是取幂函数，(5x-8)是加法函数，根据微积分法则，求这两部分函数的偏导数分别为：

(x^3+2x^2)'=3x^2+4x (5x-8)'=5

将这两个偏导数相加，即可得到 f'(x)=3x^2+4x+5 。例2：求f(x, y)=y^2+xy-x^2的导数。解：将f(x, y)分解成复合函数： f(x, y)=y^2+xy-x^2 = (y^2+xy)+(-x^2) 求f(x, y)的导数，即求 f'(x, y)=(y^2+xy)+(-x^2)'

这里，(y^2+xy)是乘法函数，(-x^2)是取幂函数，根据微积分法则，求这两部分函数的偏导数分别为：

(y^2+xy)'=(2y+x, y+x) (-x^2)'=(-2x)

将这两个偏导数相加，即可得到 f'(x, y)=(2y+x, y+x)-2x 。