一道求动点到定点最小距离问题的解法探索

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一道求动点到定点最小距离问题的解法探索



笔者所在的学校在2018学年第一学期期中测试中，九年级数学填 空题有这么一道压轴题：如图，已知⊙O的半径为2，以弦AB为边 ⊙O内部作正方形ABCD，连结OD，OD的最小值是________。





O

D

C

D





EC

HA

F

（图2）

O



AB（图1）

B

（图3）



我校九年级学生无人做对，但有一种错解颇具代表性，学生用这种解法还自认为没错，因而值得探究。我们先来看这些学生的解法：以不等的弦AB水平放置画出几个正方形，发现点D在一条线段上（如图2），过点O作这条线段的垂线段，求出这条垂线段的长就是OD的最小值。

如图3，在Rt△DEF中，求得DF=2 2+ 2，∴DH= 2+ 2，在Rt△DOH中，求得OH= 2− 2，∴OD的最小值为 2− 2。娄一德同学也是这么解的，粗看此解法没错，那问题出在哪里呢？仔细一看，点D在线段上仅仅是用描点法得到的猜想，没加以验证或证明，估计这里有问题，我们把图2放到直角坐标系中，圆心O与原点重合，AB与x轴平行，设点D（x，y）（-1），则正方形的边为-2x，所以A（x，y+2x），∵OA=2，∴x2+(x+2y)2=4。发现此图


像在-1范围内不是线段但用几何画板画非常接近线段（如图4）。

（图 4）

那么这题到底能不能用描点法这一常规方法呢？其实也是可以的，我们只要让弦AB的端点A点（或B点）固定，让另一点在⊙O上运动，比如A点固定，就会发现点D也作圆弧运动（如图5），而点B从A点到最大位置（正方形ABCD成圆内接正方形）运动了90°，则点D也运动了90°，在图6中，通过点D运动的90°弧和AD的长求得⊙O'的半径为2，易得正方形AODO’，求得OO'=2 2，因而问题就转化为圆外一点O到⊙O'的最小距离，显然OD的最小值为2 2−2。

C

D

D

C

O

A

（图5）

O'

O

A

B

B



（图6）

除了描点法这一常规方法外，此题还有其它的解法。比如将△ADO绕点A顺时针旋转90°到ABO'（如图7），则OD=O'B，如固定A点，B点在⊙O上运动，则O'也固定，OO'=2 2，问题就转化为


圆外一点O'到⊙O的最小距离，显然O'B的最小值为2 2−2所以OD的最小值为2 2−2。

OD

CBO'

OD

CB

E

A



A

（图8）





（图7）

还有一种解法也很妙，连接AC并延长AC交⊙O于点E，连接BE、DE（如图8），得BE=DE，∵∠BAE=45°，∴弧BE=90°，∴弦BE=2 2，∴DE=2 2。对于D、O、E三点，DE-OE≤OD，∴OD≥DE-OE=2 2−2，即以OD的最小值为2 2−2。这种方法其实是固定B点，从而固定E点，点D在以E为圆心，2 2为半径的圆上运动，求OD的最小值。

通过此题的探究，我们发现一是探究动点的轨迹时如要用描点法，能固定的点尽量固定；二是求动点到定点的最小或最大距离可转化为点到直线的距离问题，也可转化为三角形三边关系，还可转化为圆内（或外）一定点到圆的最小或最大距离问题。



2018.11

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