梅涅劳斯定理证明

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梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明

梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明



1. 梅涅劳斯定理



梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理。它指出：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。

直线与三角形的位置关系有两种情况：

图(2)

2) 如图(2)，三角形ABC与直线DEF的三个交点均在边的延长线上时，仍有：

图(1)

1) 如图(1)，三角形ABC与直线DEF交点其中两点在边上，另一交点在边的延长线上，

则有：

AFBDCE

××=1FBDCEA

AFBDCE××=1FBDCEA

1 仇天元


梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明

2. 证明方法分析

命题：

设直线l分别与△ABC的三边所在直线相交于点D、E、F，则有

AFBDCE

××=1FBDCEA

分析：

需证明比例式，一般采用的方法为相似、正弦或余弦定理、共边共角定理等。添加辅助线的方法多为创造平行线。在得到比例 式后相乘得所求式子。



3. 证明方法

i.

证法1（作平行线，利用平行线分线段成比例） 如图(3)，过点C作直线DF平行线， 交AB与点G。

由平行线分线段成比例得： BDFBCEGF



=，=DCGFEAAF

AFBDCEAFFBGF××=××=1FBDCEAFBGFAF

图(3)

ii. 证法2（作高创造平行，利用比例线段） 如图(4)，过点ABC作直线DF垂线， 垂足为点I、J、H。 ∵ BJ⊥DF，AI⊥DF ∴ BJ∥AI ∴ ∠3=∠4 又∵∠1=∠2 ∴ △AFI∼△BFJ

AFAI= 得

FBBJ

BDJDCECH

,=同理 =

DCDHEAAI

图(4)

AFBDCEAIJDCHCHJD ××=××=×=1FBDCEABJDHAIBJDH

2 仇天元

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