离散型随机变量的方差和标准差

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离散型随机变量的方差和标准差

教学目标

（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；

（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．

教学重点，难点：理解方差和标准差公式所表示的意义，并能解决一些实际问题． 教学过程

一．问题情境

甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不

合格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下．

X1 pk

0 0.7

1 0.1

2 0.1

3 0.1 3

X2 pk

0 0.5

1 0.3

2 0.2

0

二．学生活动

如何比较甲、乙两个工人的技术？ 我们知道，当样本平均值相差不大时，能够利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离水准．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动水准呢？



三．建构数学

1． 一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示：

…

xn x1 x2

X …

pn p1 p2

P

2

则(xi)(E(X))描绘了xi(i1,2,...,n)相对于均值的偏离水准，故

(x1)2p1(x2)2p2...(xn)2pnpi0,i1,2,...,n,p1p2...pn1

）刻画了随机变量X与其均值的平均偏离水准，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或． 2．方差公式也可用公式V(X)

2

x

i1

n

2

i

pi2计算．


3．随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差V(X)的算术平方根称为X

的标准差，即V(X)．

思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 四．数学使用 1．例题：

例1．若随机变量X的分布如表所示：求方差V(X)和标准差V(X)． X P

例2．求第2.5.1节例1中超几何分布H(5,10,30)的方差和标准差．

例3．求第2.5.1节例2中的二项分布B(10,0.05)的方差和标准差



说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当

0 1p

1

p

X~H(n,M,N)时，V(X)

nM(NM)(Nn)

，当X~B(n,p)时，2

N(N1)

V(X)np(1p)．

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