几何奥数题

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13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．

14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC‖AE．

15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB．

16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求 17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比． 18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC‖KL，BD延长线交KL于F．求证：KF=FL．

13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°，所以∠COE=90°． 因为∠COD=55°，所以∠DOE=90°-55°=35°． 因此，∠DOE的补角为 180°-35°＝145°．

14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以 ∠CBF=∠ABF，

又因为∠CBF=∠CFB，所以∠ABF=∠CFB． 从而 AB‖CD(内错角相等，两直线平行)． 由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以∠ABC=2×55°=110°．① 由上证知AB‖CD，所以∠EDF=∠A=70°，② 由①，②知 BC‖AE(同侧内角互补，两直线平行)．

15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以∠EFB=∠CDB=90°， 所以EF‖CD(同位角相等，两直线平行)．所以∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．

①又由已知∠CDG=∠BEF．②由①，②∠BCD=∠CDG． 所以 BC‖DG(内错角相等，两直线平行)．

所以∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．

16．在△BCD中， ∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，①又在△ABC中，∠B=∠C，所以 ∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°， 所以由①，②


17．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所以，GE‖AD，即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以

又 S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG， 所以 S△EFGD=3S△BFD．

设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以 S△CEG=S△BCEE，

从而所以 SEFDC=3x＋2x＝5x， 所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5．

18．如图1－102所示． 由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以

即 KF=FL．＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！

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