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因式分解之公式法
知识点一:因式分解的概念及注意事项
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式;
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4.公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5.结果如有相同因式,应写成幂的形式;
6.题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 知识点二:基本公式
1、(a+b)(a-b)=a2
-b2
---------a2
-b2
=(a+b)(a-b); 2、(a±b)2
=a2
±2ab+b2
———a2
±2ab+b2
=(a±b)2
; 3、(a+b)(a2
-ab+b2
)=a3
+b3
------a3
+b3
=(a+b)(a2
-ab+b2
); 4、(a-b)(a2
+ab+b2
)=a3
-b3
------a3
-b3
=(a-b)(a2
+ab+b2
). 5、a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
;
6、a3
+b3
+c3
-3abc=(a+b+c)(a2
+b2
+c2
-ab-bc-ca); 知识点三:方法及典型例题
一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时,可以直接利用公式法分解因式。
例1、分解因式:
(1)x2-9;(2)9x2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时,一般要先提公因式,然后再看是否能利用公式法。 例2、分解因式:
(1)x5y3-x3y5;(2)4x3y+4x2y2+xy3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、分解因式:
(1)4x2-25y2;(2)4x2-12xy2+9y4.
四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、分解因式:
(1)x4-81y4;(2)16x4-72x2y2+81y4.
五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时,可以将所给多项式交换位置,重新排列,然后再利用公式。
例5、分解因式:
(1)-x2+(2x-3)2;(2)(x+y)2+4-4(x+y).
六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时,可以先将其中的项去括号整理,然后再利用公式法分解。
例6、分解因式:(x-y)2-4(x-y-1).
七、连续用公式:当一次利用公式分解后,还能利用公式再继续分解时,则需要用公式法再进行分解,到每个因式都不能再分解为止。
例7、分解因式:(x2+4)2-16x2. 随堂练习
1、多项式x2
4xy4y2
分解因式的结果是( ) (A)(x2y)2
(B)(x2y)2(C)(x2y)2
(D)(xy)2
2、下列多项式中,能用公式法进行因式分解的是( )
(A)x2
y2
(B)x2
2xyy2
(C)x2
2xyy2
(D)x2
xyy2
3、x
41的结果为( )
A.(x21)(x21)B.(x1)2(x1)2C.(x1)(x1)(x2
1)D.(x1)(x1)3
4、代数式x4
81,x29,x26x9的公因式为( )
A.x3
B.(x3)2
C.x3
D.x2
9
5、25a
2
kab16a2是一个完全平方式,那么k之值为( )
A.40
B.40
C.20
D.20
6、填空:m2
mn ( )2
. 7、利用因式分解计算100
9921981
.
8、分解因式:4x
2
1 .分解因式:
a2
4 .
29、(1)运用公式法计算:
18161
2
3012181
2
.(2)用简便方法计算:80021600×7987982.
10、分解因式:(1)a2x2
16ax64
(2)16(2a3b)2
11、把下列各式分解因式.
(1)49x2
;(2)4x2
169y2
;(3)125a2
;(4)0.01m2
625n2
.12、把下列各式分解因式.
(1)a2
8a16;
(2)(a2b)2
6(a2b)9;
(3)
12
x22xy2y2;
(4)4mn4m2n2
. 13、已知ab12,ab18
,求2a2b2ab3a3
b的值.
14、把下列各式分解因式. (1)x
2
6x9;(2)4x220x25;(3)a2b28abc16c2;(4)4a
2
2ab1
b2;(5)(ab)24
4(ab)4.
15、把下列各式分解因式. (1)(mn)
2 004
16(mn)2 003; (2)(x2y2)24x2y2.
16、把(x1)(x3)1分解因式. 专项测试题 一、选择题
1、代数式x4-81,x2-9,x2-6x+9的公因式为()
A、x+3B、(x+3)2 C、x-3D、x2+9 2、若9x2-mxy+16y2是一个完全平方式,则m=()
A、12B、24 C、±12D、±24 3、若-
12x2axb分解成1
2
(x4)(x7),则a、b的值为() A、3或28B、3和-28 C、-33
2和14D、-2
和-14
4、下列变形是因式分解的是()
A、x2+x-1=(x+1)(x-1)+x,B、(3a2-b2)2=9a4-6a2b2+b4 C、x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),D、3x2+3x=3x2(1+
1
x
) 5、若81-kx4=(9+4x2)(3+2x)(3-2x),则k的值为()
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