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不如何证明极限不存在
一、归结原则
原理:设f在U0(x0;')内有定义,limf(x)存在的充要条件是:对任何含于
xx0
U0(x0;')且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。
n
1
不存在
x0x11
证:设xn,xn(n1,2,),则显然有
n2n2
例如:证明极限limsin
11
xn0,xn0(n),sin00,sin11(n)
xnxn
由归结原则即得结论。
二、左右极限法
原理:判断当xx0时的极限,只要考察左、右极限,如果两者相等,则极限存在,否则极限不存在。
1
例如:证明f(x)arctan()当x0时的极限不存在。
x
1111
因为limarctan()x=0,limarctan(),limarctan()limarctan(),
x0x0x0x0x2x2xx
1
所以当x0时,arctan()的极限不存在。
x
三、证明x时的极限不存在
原理:判断当x时的极限,只要考察x与x时的极限,如果两者相等,则极限存在,否则极限不存在。 例如:证明f(x)ex在x时的极限不存在
因为limex0,limex;因此,limexlimex
x
x
x
x
所以当x时,ex的极限不存在。 四、柯西准则
原理:设f在U0(x0;')内有定义,limf(x)存在的充要条件是:任给0,存
xx0
在正数(),使得对任何x,xU0(x0;),使得f(x)f(x)0。 例如:在方法一的例题中,取01,对任何0,设正数n
x
11
即证。 ,x
nn2
1
,令
五、定义法
原理:设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义,对任何AR,如果存在
00,使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x时没有极限。
例如:证明limcosx不存在
x
设函数f(x)cosx,f(x)在(0,)中有定义,对任何AR,不妨设A0,取0
1
,于是对任何0,取00 2
反证法(利用极限定义) 数学归纳法
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