求等比数列通项公式的常用方法

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求等比数列通项公式的常用方法

等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法.

一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式.

例1．求下列数列的通项公式

5，-15，45，-135，405，-1512…

解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项an5(3)n1

二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式

ana1qn1来求。

例2：数列an为等比数列，若a1a2a37,a1a2a38，求通项an

3

a22，a1a2a37,a1a2a38解，由已知得a2（利用等比数列的性质）

a2

a2a2q7q

即

212q502q25q20，解得q2或q q2

当q2时，得a11，an2n1 当q

1

时，得a14，an23n 2

评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由a1与q来表示，也可以用其他项来相互表示如anamqnm

例3：已知等比数列an中，a33,a10384，则该数列的通项an= 解：a10a3q103,q7

a10384128q2,ana3qn332n3 a33

注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式anamqnm.

三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：

（一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项

例4．已知数列an中a11，an12an1，求通项公式an 解：由已知得：an112(an1)，∴

an11

2∴数列an1是首项为a112，公比为2an1

的等比数列∴an1(a11)2n12n.即an2n1.


评：对于pan1qanr(pq)形式的递推关系式，可以配常数，即p(an1k)q(ank)，

这里k

r

从而转化为等比数列，再求通项。也可以用迭代法。如an12an1，qp



an2an11，2an122an22，

2n2a22n1a12n2，

22an223an322

将上列各式相加得an2n1a1(12222n2)2n11. （二）取倒数转化为等比数列，从而再求通项. 例5．已知数列an中a12，an1

2an

，求通项公式an. an1

解：易知an0，由an1

2an1111111

，即1(1).∴数，两边取倒数得

an1an122anan12an

1111111

列1是首项为1，公比为的等比数列，∴1()n1故an

a12an222an

11

12

n

.

S1(n1)

四．利用Sn与an的关系：an与Sn的关系为an，把Sn转化为an的递推关系式，

SS(n2)n1n

再求通项.

例6．已知数列an的前n的和为sn，且(3m)sn2manm3，其中m为常数，m3，求通项公式an.

解：∵(3m)sn2manm3∴当n2时，(3m)sn12man1m3 ∴(3m)an2man2man1，∴比为

an2m

(m3的常数)，∴数列an是首项为a11，公an1m3

2m2mn1

的等比数列∴.an(). m3m3

五．实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究an与an1的关系，求等比数列的通项

例7．从盛满a升(a1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？

1

解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a11，操作n次后溶液的浓度为an，由题

a

111

意知：an1an(1)，∴数列an是首项为a11，公比1为的等比数列，

aaa

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