万唯--中考函数题库

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题型一 二次函数性质综合题 类型一 二次函数对称性、增减性问题

考向一 对称轴确定求最值或取值范围 【方法解读】 1．求对称轴：

x1＋x2b

(1)对于一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：对称轴为直线x＝－或x＝(其中x1，x2为

2a2关于对称轴对称的两点的横坐标)；

(2)对于顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)：对称轴为直线x＝h． 2．二次函数在区间内的最值：

当m≤x≤n时，求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值和最小值．

b

情况一：当对称轴在区间右侧，即m＜n＜－时，

2a图示：



结论：如图①，当a＞0时，最大值为ym，最小值为yn；如图②，当a＜0时，最大值为yn，最小值为ym，即利用二次函数的增减性判断最大值和最小值；

b

情况二：当对称轴在区间内，即m＜－＜n时，

2a图示：



结论：如图③，当a＞0时，在对称轴处取得最小值，若直线x＝n离对称轴远，最大值为yn，若直线x＝m离对称轴远，最大值为ym，即在离对称轴远的点取最大值；如图④，当a＜0时，在对称轴处取得最大值，若直线x＝n离对称轴远，最小值为yn，若直线x＝m离对称轴远，最小值为yn，即在离对称轴远的点取最小值：

b

情况三：当对称轴在区间左侧，即－＜m＜n时，

2a图示：




结论：如图⑤，当a＞0时，最大值为yn，最小值为ym；如图⑥，当a＜0时，最大值为ym，最小值为yn，即利用二次函数的增减性判断最大值和最小值．

一阶方法突破练

1．已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，m)和(4，m)两点，求y的最大值．

2．已知二次函数y＝x2－4x＋c，当－1＜x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围(用含c的代数式表示)．

3．若点P(m，n)和Q(5，b)为二次函数y＝ax2－4ax＋c(a＜0)图象上的两点，且n＞b，求m的取值范围．

4．已知二次函数y＝x2－4x＋5，当m≤x≤m＋3时，求y的最小值(用含m的代数式表示)．

5

5．已知二次函数y＝x2＋x－1，当m≤x≤m＋2时，－≤y≤1，求m的值．

46．已知二次函数y＝ax2－2ax＋a－2(a＞0)，当t≤x≤t＋2时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求a的取值范围．

二阶设问提升练

1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1＝ax2－4ax＋c(a≠0)，点P(3，－1)是抛物线上的点．

(1)求抛物线的对称轴及c的值(用含有a的式子表示)；

【思维教练】利用对称轴公式即可求出抛物线的对称轴；代入点P坐标即可将c用a表示出来；

(2)若点Q的坐标为(0，－4)，抛物线的顶点在直线PQ上，设直线PQ的解析式为y2＝kx＋b(k≠0)，当y1＞y2时，求x的取值范围；

【思维教练】求出直线PQ的解析式，根据抛物线的顶点在直线PQ上，可求出抛物线的顶点坐标，进而求出抛物线的解析式，利用二次函数的性质，画出草图即可求解；

(3)若a＜0，当m≤x≤m＋2时，求y1的最大值(用含a，m的代数式表示)；

【思维教练】根据对称轴与m≤x≤m＋2的位置关系，分三种情况：①m＋2＜2，②m≤2≤m＋2，③m＞2，讨论每种情况下y1的最大值；

(4)若点G(－3，－4)为抛物线上一点，求抛物线y1顶点H的坐标并求出在线段PG上方抛物线上的点到对称轴的距离d随x的增大而减小的x的取值范围．

【思维教练】由点P，G的坐标即可求出抛物线解析式及点H的坐标，画出抛物线及线段PG的草图，数形结合即可求解






三阶综合强化练

1．万唯原创已知抛物线y＝x2－(k＋1)x＋k2－2与直线y′＝x＋3k－2的一个交点A在y轴正半轴上

(1)求抛物线的解析式；

(2)当m≤x≤m＋1时，求y的最小值(用含m的式子表示)；

(3)若B(3n－4，y1)，C(5n＋6，y2)为抛物线上在对称轴两侧的点，且y1＞y2，求n的取值范围．

2．万唯原创在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为y＝ax2＋2ax＋a－2(a≠0)． (1)求该抛物线的顶点坐标；

(2)当－2≤x≤2时，y的最小值是－4a，求a的值；

(3)在(2)的条件下，当p≤x≤q时，P≤y≤q，且p＋q≥－2，求p，q的值．

考向二 对称轴不确定求最值或取值范围 【方法解读】

求对称轴不确定的二次函数区间内最值：

(1)当a＞0求最小值(或a＜0求最大值)时，需分对称轴在区间右侧、区间内、区间左侧三种情况进行讨论确定其最值；

(2)当a＞0求最大值(或a＜0求最小值)时，仍需分对称轴在区间右侧、区间内、区间左侧三种情况进行讨论，且在讨论对称轴在区间内时，需根据哪个端点离对称轴远分两种情况讨论其最值情况，即共四种情况分类讨论．



一阶方法突破练

1．已知二次函数y＝－x2－2mx＋m－3，求该二次函数的最大值(用含m的式子表示)． 2．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2，当－1≤x≤1时，求y的最小值(用含m的式子表示)．

3．已知抛物线y＝－x2＋bx＋5(b≥4)，当0≤x≤4时，函数值y的最大值满足5≤y≤17，求b的取值范围．

4．二次函数y＝x2＋mx＋m(m为常数)，当m≤x≤m＋3时，与其对应的函数值y的最小值为21，求m的值．

二阶设问提升练

1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋1． (1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；

【思维教练】将a、b的值代入对称轴公式即可求解；

(2)若点M(t－2，m)，N(t＋3，n)在抛物线y＝x2－2x＋1上，试比较m，n的大小； 【思维教练】利用(1)中的结论的大小即可得到t－2及t＋3分别在对称轴两侧，根据抛

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