3.2.2-2《自建函数模型解决实际问题》

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3.2.2函数模型的应用举例

【教学目标】能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 【教学重难点】

重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 【教学过程】

I、引入：创设情景，揭示课题

2010年4月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立甲型HⅠNⅠ趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于4月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击甲型HⅠNⅠ至关重要、分析报告说，就全国而论，甲型HⅠNⅠ病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了甲型HⅠNⅠ趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对甲型HⅠNⅠ未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 II、新课：

例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日销售量的关系如图所示:

销售单价/元 日均销售量/桶

6 480

7 440

8 400

9 360

10 320

11 280

12 240

请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 探索以下问题：

（1） 随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？ （2） 最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出

例2、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km， 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式， 并作出相应的图象.

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导： 图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度 不断变化，汽车里程表读数s km 与时间t h的函数为分段函数.

解：(1)阴影部分的面积为501801901751651360.阴影 部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.

50t2004, 0t1,80(t1)2054, 1t2,

(2)根据图，有s90(t2)2134, 2t3,

75(t3)2224, 3t4,65(t4)2299, 4t5.



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这个函数的图象如图所示. 例3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：yy0ert.其中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人

55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？



解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9.

由551961r156300，可得1951年的人口增长率为r10.0200.

同理，可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，

r90.0184.

于是，1950～1959年期间，我国人口的增长率为rr1r2r990.0221. 令y055196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y55 196e0.0221t，tN. 根据表中的数据作出散点图，并作出函数y55 196e0.0221t（tN）的图象.



由图可以看出，所得模型与1950～1959年 的实际人口数据基本吻合.

(2)将y130000代入y55196e0.0221t， 由计算器可得t38.76.所以，如果 按表的增长趋势，那么大约在1950 年后的第39年（即1989年）我国的 人口就已达到13亿.由此可以看到， 如果不实行计划生育，而是让人口

自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.



变式训练：电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图所示，其中MN//CD.

(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.



解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：

20, 0x100,50, 0x500, ，g(x) f(x)33

x10, x100.x100, x500.1010

3

x1050， 10

∴x200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；

当客户通话时间为0x200分钟，gxfx，故选择方案A；

(2)当fxgx时，

当客户通话时间为x200分钟时，gxfx，故选方案B.

点评：本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.另外，在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.





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III、归纳小结，巩固提高.

通过以上四个题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下： IV、作业：

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