证明角相等的方法

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添辅助线的规律



（一）添辅助线的目的：

解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。这种思路可称为条件集中法。

为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。 添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定： ⑴由所求决定：问什么，先要作什么。

⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。

⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。 （二）添辅助线的规律： （1）三角形中：

①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。如图1）

②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。如图2）



③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。如图3）； 或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。如图4）； 或连


中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。如图7、8）。或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。如图9）。



④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。如图11）。 ⑤有角平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线（构造两个全等Δ。如图12、13）

⑥有角平分线遇垂线：常延长垂线（构造等腰Δ。如图14）。





（二）梯形：

①延长两腰交于一点（构造两相似Δ。如图15），

②由小底的一端作一腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的Δ和一平行四边形。如图16）。



③由小底的两端作大底的垂线（构造两直角Δ和一矩形。如图17）。 ④有对角线时：由小底的一端作另一对角线的平行线（构造一集中有两对角线及上下两底和的Δ和一平行四边形。如图18）。

⑤连小底一端与另一腰中点并与大腰的延长线相交（构造两全等Δ及一与梯


形等高等积的Δ。如图19）。

⑥过一腰的中点作另一腰的平行线（构造两全等Δ及与梯形等积的平行四边形。如图20）。

⑦过小底的中点分别作两腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的Δ和两个平行四边形。如图21）。



（三）圆：

①有弦：连过弦端点的半径，连垂直于弦的直径或弦心距（构造直角Δ，便于运用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数解题）；或作过弦一端点的切线及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图22）。

②有直径及垂直直径的弦或半弦，连结弦与直径的端点（构造三个相似的直角Δ，便于运用直角Δ的性质及射影定理。如图23）。



③有圆内接四边形：连对角线（构造较多相等的圆周角。如图24）；或延长四边形的某一边（构造与内对角相等的外角。如图25）。



④圆外有切线：连过切点的半径或直径（构造垂直关系）；或作过切点的弦及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图26）。

⑤圆外有两条相交切线：连过切点的半径，并作切线交点与圆心的连线（构造两全等的直角三角形）；或作过交点和加以的割线（便于运用切线割线定理）；


或连结两切点（构造一等腰Δ、三对全等的直角Δ、被切线交点与圆心的连线垂直平分的弦，便于运用等腰Δ、直角Δ、全等Δ以及射影定理。如图27）。



⑥有相交弦或相交于圆外的割线\切线：连结不同弦的端点或不同割线在圆上的交点（构造相似Δ，便于运用比例线段及Δ外角定理。如图28、29、30）。



⑦两圆相交：作连心线、公共弦，甚至两圆心到公共弦两端点的连线（构造两

等腰Δ、补全一筝形，便于运用连心线垂直平分公共弦的定理。如图31）。 ⑧两圆外切：作连心线及内、外公切线、连切点、连半径（构造一集中有两条弦及外公切线长

的直角Δ、一集中有两圆半径、半径之和及外公切线长的直角梯形。如图32）。 ⑨两圆内切：作连心线及外公切线（便于运用连心线与公切线的垂直关系。如图33）。

⑩两圆外离：作连心线及个公切线或内公切线，并过小圆圆心作公切线的平行线（构造一集中连心线长、公切线长、两圆半径差或和的直角Δ。如图34、35）。






证明线段相等的方法



（一）常用轨迹中：

①两平行线间的距离处处相等。

②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。

④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。



（二）三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。

④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。

⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。



（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③菱形中四边相等。

④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。




（四）正多边形中：

①正多边形的各边相等。且边长an = 2Rsin (180°/ n)

②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等。 且rn = Rcos (180°/ n) （五）圆中：

①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 ②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 ③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 ④自圆外一点所作圆的两切线长相等。

⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。



⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。 ⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。



（六）全等形中：

①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。 （七）线段运算：

①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。

②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。 ③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。




证明角相等的方法



（一）相交直线及平行线： ①二直线 相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。 ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。 ④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等(图1、2）。



（二）三角形中：

①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等） ②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等） ④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图3）。



（三）四边形中： ①平行四边形对角相等。 ②菱形的对角线平分一组对角。 ②矩形的四角相等，且均为直角。 ③等腰梯形同一底上的两角相等。 （四）正多边形中：

①正多边形的各内角相等、外角相等，且内角= (n-2)180°/ n，外角=360°/ n ②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n 。


（五）圆中：

①同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。 ②同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。 ③同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。 ④自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。

⑤两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分(图4）。



⑥圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。 （六）全等形中：

①全等形中，一切对应角都相等。 （七）相似形中：

①相似形中，一切对应角都相等。 （八）角的运算：

①对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。

②对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。 ③两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二角相等。

④两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二角相等。

证明线段不等关系的方法



（一）常用轨迹中：

①（线段公理）所有连结两点的线中，线段最短。

②自直线外的一点，向直线作一条垂线和多条斜线，则斜线长的所对的射影也长；射影长的所对的斜线也长，且其中垂直线段最短(图1）。




③两平行线间公垂线最短。 （二）三角形中：

①同一三角形中，大角对大边，小角对小边，直角或钝角所对的边最大。 ②任意三角形中，任二边之和大于第三边，任二边之差小于第三边。 ③直角三角形中，斜边最长。 （三）圆中：

①同圆或等圆中的各条弦、以直径最长。

②同圆或等圆中，大弦或大圆心角所对所对的弦心距小，小弦或小圆心角所对所对的弦心距大； 小弦心距或大圆心角所对的弦大，大弦心距或小圆心角所对的弦小（图2）。



③同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对的弦大； 小弧或小圆周角所对的弦小（图2）。若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。



④同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对所对的弦心距小， 小弧或小圆周角所对所对的弦心距大（图2）。若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。 （四）线段运算：

①对应相等线段加不等的线段：加长线段的其和也大；加短线段的其和也小。 ②对应相等线段减不等的线段：减长线段的其差反小；减短线段的其差反大。 ③较大的线段减较小的线段，其差也大；较小的线段减较大的线段，其差反小。

④两线段的长的数学解析式相减：若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。 ⑤两线段的长的数学解析式相除：若其商大于1，则前者大于后者；若其商小于1，则前者小于后者。


证明角不等关系的方法



（一）三角形中：

①同一三角形中，大边对大角，小边对小角，三内角中以直角或钝角最大。 ②三角形的任一外角大于与它不相邻的任一内角。 （二）圆中：

①同圆或等圆中，大弧所对的圆心角、圆周角大，小弧所对的圆心角、圆周角小。

②同圆或等圆中，大弦所对的圆心角、圆周角（锐角）大，小弦所对的圆心角、圆周角（锐角）小；大弦心距所对的圆心角、圆周角（锐角）小，小弦心距所对的圆心角、圆周角（锐角）大。 （三）角的运算：

①对应相等角加不等的角：加大角的其和也大；加小角的其和也小。 ②对应相等角减不等的角：减大角的其差反小；减小角的其差反大。 ③较大的角减较小的角，其差也大；较小的角减较大的角，其差反小。

④两角大小的数学解析式相减：若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。 ⑤两角大小的数学解析式相除：若其商大于1，则前者大于后者；若其商小于1，则前者小于后者。

证明线段比例式或等积式的方法



（一）比例的性质定理：



（二）平行线中的比例线段：



①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。




②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。



③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。

（三）三角形中比例线段：

①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周 长…）的比都相等，等于相似比。

②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。

④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC

⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA



（四）圆中的比例线段： 圆幂定理：

①相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8）




②切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③ 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。



（五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。

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