2012年高中数学联赛平面几何试题溯源分析

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2012年高中数学联赛平面几何试题溯源分析



余双宁（广东省开平市第一中学 529300）



ABAC，2012年高中数学联赛加试试题A卷（第一题）为：如图1，在锐角△ABC中，

M,N是BC边上不同的两点，使得BAMCAN.设△ABC和△AMN的外心分别为

O1、O2.求证：O1、O2、A三点共线.

本文对此题的解法，来源及背景进行探

讨，并给出了题目的本质和推广.现将此题的答案给出如下：

证明：如图1，连接AO1，AO2，过点

A作AO1的垂线AP交BC的延长线于点P，则AP是圆O1的切线.

因此BPAC， 因为BAMCAN，

所以AMPBBAMPACCANPAN， 因而AP是△AMN外接圆O2的切线， 故APAO2.

所以O1、O2、A三点共线.

一． 试题分析

从本题的设问及解答可以看出，此题所给综合的知识点不多，但解答巧妙，所考查的主要内容有两点：（1）弦切角与圆周角的关系；（2）构造圆的切线. 二． 试题溯源

从解答可以看到，此题实际上是由圆与圆相切的基本性质改编而成的.

圆与圆相切的基本性质 两圆内切与点T，一条直线依次与这两个圆交于点

M、N、P、Q，则MTPNTQ（或MTNPTQ）.

证明 如图2,过T作两圆的公切线TL， 由 QMTQTL，PNTPTL，

有 MTNPNTQMTPTLQTLPTQ， 故 MTPMTNNTPNTPPTQNTQ. 注 此性质也是2005年新西兰数学奥林匹克选拔考试题.显然，由以上的基本性质可以直接改编成为2012年高中数学联

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赛平面几何试题.

三． 问题的本质和延伸

由圆与圆相切的基本性质到联赛试题，我们猜想该试题的本质又是什么？ 问题的本质如下：

定理 设A1,A2是△ABC的BC边上（异于端点）的两点，令

BAA1 ,A2AC,则的充要条件是△AA1A2的外接圆与△ABC的外接

圆内切于点A.

证明 充分性 如图3 ,当两个外接圆内切于点A时，过作两圆的公切线AT，设△AA1A2的外接圆分别与

AB,AC交于点D,E，联结DE

，则

EADTACCB，A从而DE//BC，即有

DA1EA2，亦即有DAA1A2AE，故.

必要性 如图3,设O1,O分别为△AA1A2,△ABC的外心, 圆O1与AB，AC分别交于点D,E.

当时，即DAA1EA2, 1A2AE时，则有DA从而DE//BC,

过A作圆O1的切线AT1，过A作圆O的切线AT,

则T1ACADEABCTAC，即知AT1与AT重合. 故△AA1A2的外接圆与△ABC的外接圆内切于点A.

由此定理知，联赛题只是本定理得必要性.下面将此问题进一步延伸如下：







AB2BA1BA2

命题 设A1,A2是△ABC的BC边上（异于端点）的两点，则的

AC2A1CA2C

充要条件是△AA1A2的外接圆与△ABC的外接圆内切于点A.

证明 如图3，设△AA1A2的外接圆O1与△ABC的外接圆O内切于点A，与圆O1与

AB，AC分别交于点D,E，联结DE.

由切割线定理，有

ABBDBA1BA2，ACCECA1CA2，

2


亦即有

ABBDBA1BA2

， 

ACCECA1CA2





由BAA1CAA2A1DA2EDE//BC

BDCEABBDAB2ABBDBA1BA2

. ABACACCEAC2ACCECA1CA2

四．

练习

1.（2002年土耳其数学奥林匹克题）两圆外切于A，且内切于另一个圆O，切点为B,C.令D是两小圆内公切线段即圆O的弦的中点.证明：当B,C,D不共线时，A是△BCD的内切圆的圆心.

2.已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于两点M,N，且圆O1，圆O2分别与圆O内切于点S,T，直线MN交圆O于点A,B，弦ST交AB于点G，H为AB中点，则H点在公共弦MN上的充要条件是点G也在公共弦MN上，且GSNMSH.





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