空间中余弦定理的证明

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空间中余弦定理的证明

在数学中，余弦定理是三角形中的一个重要定理。对于任意三角形ABC，余弦定理可以表示为：c = a + b - 2ab * cos C。其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，C 表示夹在 a 和 b 之间的角度。 证明：

我们可以通过向量的几何性质来证明余弦定理。假设我们有三个向量 A，B，C，它们分别表示三角形 ABC 的三条边。则向量 C 是从向量 A 到向量 B 的差向量，即 C = B - A。

现在我们来计算向量 C 的长度的平方。根据向量的长度公式，我们可以得到 |C| = C·C，其中 |C| 表示向量 C 的长度，C·C 表示向量 C 的点积。

我们可以将向量 C 表示为 A 和 B 的线性组合，即 C = B - A = -A + B。因此，C·C = (-A + B) · (-A + B)。

利用向量点积的性质和二次方程的展开公式，我们可以得到 C·C = A·A + B·B - 2AB cos C。其中，A·A 和 B·B 分别表示向量 A 和向量 B 的长度的平方，AB 表示向量 A 和向量 B 的点积。

由于向量 A 和向量 B 分别对应三角形的两条边，因此我们可以将 AB 和 cosC 分别表示为三角形的边长和夹角的函数。即 AB = ab，cosC = (a + b - c) / 2ab。

将 AB 和 cosC 代入上式，我们可以得到 C·C = a + b - 2ab



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cosC。因此，|C| = c = a + b - 2ab cosC，即余弦定理成立。

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