绝对值及其几何意义

2022-12-24 14:01:34   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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绝对值及其几何意义

绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身,零的绝对值是零,负数的绝对值是它的相反数。

如:|5|=5|-5|=5|0|=0

绝对值的几何意义:可以借助数轴来加以认识,一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到___________的距离。

表示数轴上表示数a的点到________的距离,

推而广之:∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数______的点之间的距离,x-a+x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_______ 两点的距离之和。 对于一些比较复杂的绝对值问题,如果用常规的方法做会比较繁琐,而运用绝对值的几何意义解题,往往能取得事半功倍的效果。

1:已知,∣x-4=3,求x的值。

解法一(代数法,分类讨论)(“零点分段法”)

解法二(几何法):由绝对值的几何意义可知,∣x-4=3表示数x的点到_________的距离为_____,结合数轴不难发现这样的点共有______个,分别是________,故x=_______.

2求∣x-1+x+2∣的最小值。 解法一(代数法)(“零点分段法”)

解法二(几何法):由绝对值的几何意义可知,

分析:本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决,但若运用绝对值的几何意义解题,会显得更加简洁

解:根据绝对值的几何意义可知,∣x-1∣表示数轴上点x_______的距离, x+2 表示数轴上点x_________的距离。

实际上此题是要在数轴上找一点x,使该点到两点的距离之和最短,由数轴可知,x在数轴上__________________________________的点,且最短距离为______________ 即∣x-1+x+2∣的最小值为_______

推广:∣x-a+x-b∣的最小值为___________

∣∣x-a-x-b∣∣的几何意义是数轴上一点xab两点之间距离之差的绝对值,它有一个最_______(大或小)________


3对于任意实数,若不等式∣∣x+1-x-2∣∣<k恒成立,则实数k的取值范围是什么?

解:(提示:k是式子∣∣x+1-x-2∣∣的最大值还是最小值?)

4如果∣x-3+x+1=4,则x的取值范围是什么? 解:

绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧,这种简捷、巧妙的方法,应引起重视。

绝对值的性质:

1 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|0,这是绝对值非常重要的性质;

2 (代数意义)



3)若|a|=a,则a0;若|a|=-a,则a0

4)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, |a|a,且|a|-a

5)若|a|=|b|,则a=ba=-b(几何意义) 6 7 8

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左边的等号当且仅当 时取到,右边的等号当且仅当 时取到 10

左边的等号当且仅当 时取到,右边的等号当且仅当 时取到






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