数学分析目录

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目录



第一章集合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射与实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及应用7．1微分中值定理7．2Taylor展开式及应用7．3LHospital法则及应用第八章导数的应用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类R［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分与广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的应用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理应用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1Cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4Abel-Dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的Abel-Dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章Fourier级数15．1Fourier级数15．2Fourier级数的收敛性15．3Fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章Euclid空间上的点集拓扑

16．1Euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2Euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章Euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2Euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的应用20．1偏导数在几何上的应用20．2方向导数和梯度20．3Taylor公式20．4极值20．5Logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3Green公式23．4Green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3Gauss公式24．4Stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3B函数和函数第二十六章Lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3Lebesgue积分26．4（L）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7Fubini定理练习及习题解答






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序言

复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。20世纪90年代初由欧阳光中和姚允龙编写的《数学分析》（以下称原书，由复旦大学出版社出版）由于其独特的风格深受读者欢迎，被许多学校选用作为教材或教学参考书，也为其他教材提供了参考，迄今为止已经三次重印。近年来，原书在复旦大学数学系多次使用，取得了很好的教学效果，深受广大学生欢迎。在教学过程中，通过对教材不断地改进，又积累了很多新的经验，得到了各方同仁建议性意见，同时对照国内外同类教材的发展方向，以及21世纪数学分析课程对教学的要求，本着学生易学、教师易教的宗旨对原书进行了重新编写。本书继续保持了原书的基本特色，对上下册风格进行了协调，并进一步简化一些重要结论的证明，将现代数学的一些重要工具引入数学分析课程，为读者进一步学习现代数学打好基础。本书的重要特点是理论体系完整，对所有重要结论都给出了严格的证明；对数学分析教材中的一系列难点问题的讲述进行了系统的改进，提出了许多新的思想和方法。本书对数学分析教材进行的创新工作主要包括：1。提出用QD10函数建立实数系的新方法，使得实数系理论处理变得非常简明，学生也容易接受。2。在不涉及圆周长和圆面积的前提下，用数列极限定义了圆周率，克服了传统教材与圆周长相互循环定义之嫌，严格化了重要极限lim的证明。3。在积分理论中，不论是定积分还是重积分，我们都引入并证明了Rie－mann积分中的最深刻结论：函数Riemann可积的充要条件是有界几乎处处连续。我们引入了零测度集和几乎处处连续等概念，并且简化了相应结论的证明和Riemann积分的讨论。4。给出了全新的无穷限积分顺序交换定理。5。作为选用章节，我们引进了经过数学分析化的Lebesgue积分理论。仅用了一章的篇幅，使用了崭新的方法介绍了Lebesgue积分以及各种极限理论和Lebesgue测度，所需知识只是初等微积分，容易为初学者接受。本书的Lebesgue积分理论不仅是数学分析的一个强有力工具，而且也是实变函数的一个重要应用。这部分内容衔接了数学分析和实变函数课程并填补了两者之间的空白区域。当然，这部分内容即使不讲，也不影响整个课程的完整性。6。严格化了广义重积分的理论。7。简化了Cauchy收敛原理。本书还引进了现代分析的观点和概念，对下列内容作了修改：1。将有界闭区间上的连续函数的三大定理合并为一条值域定理。2。用整体眼光来讲授极值问题，尤其是Lagrange乘子法，克服了传统教材过分强调局部的毛病。3。强调了集合论观点处理问题的方法。4。引进了可列集、零测度等概念。在教材内容编排上，作了下述改进：1。正文与习题紧连布排，改变传统的只在章末安排习题的做法，为教师、学生针对性地选题带来方便，章末主要安排了一些综合性的习题。书末还附有参考答案。2。不同于用正项级数和变号级数为标准分类，采用绝对收敛和收敛为标准分类讨论收敛性，更为科学合理。而传统方法容易导致学生对变号级数使用等价量判别收敛性感到困惑。3。改变以往轻广义积分重定积分的做法，加强了广义积分的运算。4。引进了任意区间记号，使得许多结论的描述更为简洁。5。多重积分的变

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