【全】刘觉平电动力学课后习题答案

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第一章 三維歐氏空間中的張量 目录：

习题1.1 习题1.2 习题1.3 习题1.4 习题1.5 习题1.6 习题1.7 习题1.8



正交坐标系的转动 ................................................... 2物理量在空间转动变换下的分类 ................................. 9物理量在空间反演变换下的进一步分类 ...................... 10张量代数 ............................................................. 15张量分析 ............................................................. 21Helmholtz定理 ................................................. 35正交曲线坐标系 .................................................... 38正交曲线坐标系中的微分运算 .................................. 42


习题1.1



1、 设三个矢量a,b,c形成右（左）旋系，证明，当循环置换矢量a,b,c的次序，即当考察



矢量b,c,a(c,a,b)时，右（左）旋系仍保持为右（左）旋系。



证明：V(ab)c，

对于右旋系有V>0.



当循环置换矢量a,b,c次序时， 

V(bc)a＝(ca)bV0。（*）

所以，右旋系仍然保持为右旋系 同理可知左旋系情况也成立。 附：（*）证明。由于张量方程成立与否与坐标无关，故可以选取直角坐标系，则结

论是明显的。



2、 写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当Cartesian坐标系绕z轴转动角度时。

解：变换矩阵元表达式为 aijeiej



a11cos,a12sin,a21sin,a22cos, a13a23a320,a331

cos

故Rsin

0

sincos0

0

0 1





3、 设坐标系绕z轴转角，再绕新的y轴（即原来的y轴在第一次转动后所处的位置）转

角，最后绕新的z轴（即原来的z轴经第一、二次转动后所处的位置）转角；这三

个角称为Euler角。试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变换矩阵。




解：我们将每次变换的坐标分别写成列向量X,X,X,X， 则 XRzX,XRyX,XRzX

XRzRyRzX

轴（固定轴）转角，最后将y-轴转至y-轴的位置”。因而

绕y-轴转角相当于“先将坐标系的y-轴转回至原来位置，再绕原来的y-

Ry()Rz()Ry()Rz1()

同理有Rz()Ry()Rz()Ry()

1

Rz()Ry()Rz()Ry()Rz()Ry()Ry()Rz()

1

 Ry()Rz()Rz()Rz()Ry()Rz()Rz()Rz()

Rz()Ry()Rz1()Rz()Rz()Rz()Ry()Rz()

1

易知：

cos

Rzsin

0cos

Ry0

sin

sincos0

0cos

0，Rzsin

01

sincos

0

00， 1

0sin



10 0cos

R,,RzRyRz＝


coscoscossinsin

coscossinsincoscossin



sincoscoscossinsincossincoscos

sinsin

sincos



sinsin

cos

//上面的解答让人疑惑。就结论R,,RzRyRz本身让人觉得没有什么

物理意义，分别绕原来的z轴，y轴，z轴转动怎么可能呢？且绕y’轴转角等效于绕原来y轴转角，怎么说？

实际上， XRzX,XRyX,XRzX

XRzRyRzX

sincos

0

cos

而Rzsin

0

cos0

Rsin0，z''

01

0sin

10 0cos

sincos

0

00， 1

cos



Ry'0

sin



就直接可以得到：

R,,RzRyRzcoscoscossinsin

sincoscoscossin

sincos

coscossinsincos

sincossincoscos

sinsin

cossin



sinsin

cos



这个结果与《物理学中的数学方法》F.W.拜伦 R.W.福勒 著（P12） 结果一致 （上面运算结果由Matlab验算过）

4 设ax、ay与az是矢量的Cartesian坐标，则 a

1

a2

x

iay,a0az

称为矢量a的循环坐标。设坐标系作一有限转动R(,,)，这里,,是相应的Euler角，试写出矢量诸循环坐标系转动时的变换矩阵。


aax

解：由题意得：a0Aay （1）

aaz

1i20A20

01 12

i2010122 所以A1



i0i22 01

0



aa''a坐标变换后，a'a

'

0经变换矩阵D变为a0，即a0Da0 aa''aaa'又

a'Aa'xa'ax

aax0ya'

ARay ，a0Aaya'z

azaa

z所以a'a

a'10ARAaa'



0a 所以由（2）、（3）得DARA1



cos2i()

1

sinei2e2sin2



ei()2最后得D1

sinei

cos1

22sinei 2i(

sin)2e

1

2sineicos2ei()2

详细步骤：

2）3）（

（


DARA1

1

2012((

12i20i2

0

coscoscossinsin

1coscossinsincoscossin0

i2sin)ei

1

2sincoscoscossinsincosi

sincossincoscossinsin

2sinsincos011

1i10ii(sincoscos)esine22222ii

sinsincos0

221i1

(sincoscos)eisinei010222



001

1

2i20

coscos

coscos1icoscossin)ei22

12sineicos12sinei

2i()

cos2e1sinei

2

2i()sin2eei()2

1

sinei2



cos2ei()

2sin2



2i()

cose21Dsinei

2

2i()sin2e

1

sinei2cos

1

sinei2ei()21sinei 2cos2ei()

2sin2



（结果经Matlab验算，正确）

因此三四两题课本给出答案均无误。

5、试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成＝I＋，其中是反对称矩阵，而I是二阶单位张量；并指出ij的几何意义。

证：

为了清楚起见，我们先用矩阵语言证明是反对称矩阵：



T

xIxxTxxTIIx

TTTTTTxxxIxxIx(舍去高阶小量)

由于长度是转动变换不变量，xxxx 于是x

T

T

T

T



0，即x

T

0，故是反对称矩阵

（上面，A表示A的转置）



下面用分量语言证明：处理时，要特别小心行向量和列向量，因为这在分量语言中是看不出

T


来的。为了以示区别，我们用xi表示行向量，xi表示列向量

由于是做无限小转动，所以可以写成：

'x ixiikxk （1）

又由于

xixixi'xi' （长度是旋转不变量） （2）

s2xixixixjjixiikxk xixiikxkxixijixjjixjikxk xixiikxkxixijixj =xixixjjiijxi

所以xjjiijxi，由于xi的任意性，可得到jiij=0





ii0,(i1,2,3)即｛ 即ijji，为反对称矩阵的矩阵元

ikki,(ki)

若不加以区分，很容易得到这样一个错误的结论：

ikxkxixijixjikxkjixj0ijxjxixijixj0

ij,ji

jixjxixijixj0

即ji0,若考虑二阶项，就会得到是一个对称矩阵的错误结论

虽然哑指标可以任意的换字母，但是那里面的xi,xj在两个项中是不一样的（有行向量和列向量的区别）



由此可将（1）（2）两式写成矩阵形式，

'

rr，I



（ I为二阶单位矩阵， 引入矢量

的元为之前的ij，即是反对称矩阵）

ijkjk

，使i



2

，其中

ijk为三阶全反对称张量，


ilmlmlm()jlkmjmkljk

则因为恒等式ijk

22

得ijki

jk 则 ijkjxkikxk （3）

结合（1）式右边，得出

'

rrr

为坐标系所做的无限小角转动的角位移。

ijk



由此可知

同时，由 ijk

jxkikxk，及

ˆieˆjeˆkeˆkeˆieˆj e

ˆkeˆiki的 可知，e



所以ki本身是矢量(ekei)与的标积，ki



角位移在j方向上的分量的j大小







ejj，其大小就是无穷小



应该说，这个题目的另一意义在于对叉积可以变成点积运算：rr，可惜的这只能

在三维空间中成立，关键是i



ijkjk

2

只在三维空间中成立。不过也没什么，叉

积本身只在三维空间中有通常意义。

6、试证三维空间的转动变换（1.1.4）矩阵的矩阵元满足关系式（1.1.20）与（1.1.22） 证：由表达式（1.1.4）得

'x 坐标的转动变换：iaijxj （1）

xi'

a 则ij

xj

， 此即（1.1.20） 式

将（1）式两边同时乘以aik，并对指标i求和



xiaikaijaikxj （2）



'

'2'22

xaijaikxjxkxixixx 由 得


可得正交关系

aijaikjk （3）

代入（2）式可得

xi'aikxk

即

xjaijxi,从而aij

'

xjxi'



此即（1.1.22）式。

习题1.2

在空间转动变换下

1 若Tij是一个二阶张量，bi是一个矢量，则aiTijbj也是一个矢量。 证： 因为：

TailajmTlm,bajkbk

所以

'ij'j

ai'Tij'b'jailajmTlmajkbkailajmajkTlmbkailmkTlmbkailTlmmkbkailTlmbmailal

故ai为一矢量

2 若ai是一个矢量，证明ai/xj是一个二阶张量。 证：因为



ai'(ailal)alxkalal

aaaailililjkx'jx'jx'jx'jxkxk




ai

所以,

xj

为二阶张量

3 若Sij是一个二阶对称张量，Aij是一个二阶反对称张量，则SijAij0。

解：

SijAijSijAijSijAijSijAij

ij

ij

ij

AijAji,ij时，Aij0

又SijSji

SijAijSijAijSijAijSijAijSjiAji

ij

ij

ij

ij



SijAijSijAij0

ij

ij

故原题得证。

4．证明二阶张量的对角分量之和是一个标量。 解：设二阶张量的对角量之和为： ＝Tii 经过一转动变换后：＝Tii

'

'



''

Tjj TTaaTT 而：iiijikjk＝jkjk＝jj，所以：

上式表明

5．

2

是一个标量。

222

证明：

2222 2

=222



习题1.3



1． 证明：构成右（左）旋系三个矢量a、b、c在空间反演变换后成为左（右）旋系。


证明：对于右旋系来说，



Vabc0



空间反演变换后，



Vabcabcabc0，变为左旋系。







同理可证左旋系变为右旋系的情况。

2．若Tij是一个二阶张量，Pij是一个二阶赝张量，则TijPij是一个赝标量。

证明：在空间反演变换下，

 TijPijTijPijTijPij

而TijPij只有一个值，故TijPij是一个赝标量。





3．证明：当坐标系旋转或偶数个坐标轴反向时，变换行列式等于1；当奇数个坐标轴反向时，变换行列式等于1。

证明：对坐标系旋转来说，

aaI,aaa

T

T

T



aa1,a1

2

由坐标旋转的连续性，a的值要么保持不变，要么连续变化

由于开始时，显然，a1

所以a始终等于1

或者这样理解：做两次转动，可以看作一个转动变换，所以a始终等于1

对坐标轴反向来说，其变换行列式形式为：

11



0110

0011

，11表示1或1。

00

偶数个坐标轴反向时，有偶数个1，其值为1；当奇数个坐标轴反向时，有奇数个1，其值为1。得证。



4. 设xi是笛卡儿坐标，求当空间坐标系作旋转与反演变换时诸体积积分

Tijdvxixjfx2的变换规律，式中fx2是一个标量函数

解:

空间坐标系做旋转变换时,有 xiaijxj ,


x2xixiaijxjaikxkxjxjx2

dx2dx3detJdx1dx2dx3detJdv dvdx1

a11

其中detJdeta21a31

所以dvdv

a12a22a32

a13

a231（aij是转动矩阵） a33

Tijdvxixjf(x2)dvailxlajmxmf(x2)ailajmTlm





做反演变换时,有xx

dvdx1dx2dx3dx1dx2dx3dv

xixixixixixi

Tijdv(xi)(xj)f(x2)dvxixjf(x2)Tij



5. 使用两矢量的循环分量表示它们的标积（点乘）与矢积（叉乘）；并用球谐函数表示矢径的诸循环分量。

ˆx解: 由axe

11

ˆaeˆ),ayeˆyˆaeˆ),azeˆza0eˆ0 (ae(ae22

ˆxbxe



11ˆbeˆ),byeˆyˆbeˆ),bzeˆzb0eˆ0 (be(be22

1

2aax

1

aAaA，2yaa0z

0

i2i20

00 1

因此，A就是变换矩阵，于是我们可得基坐标公式：

e,e,e0ex,ey,ezA

于是

eeie0 ,ee0ie ,e0eie




因此：



abaeaea0e0bebeb0e0



ˆi(a0bab0)eˆi(abab)eˆ0 i(a0bab0)e



即有(ab)0i(abab),(ab)i(a0bab0)



ˆ(a0bab0)eˆ(abab)eˆ0 注意：ab(ab0a0b)e

是不成立的，因为上式是在直角坐标系中推出的，有赖于直角坐标系的一些特殊性

质



∵abaeaea0e0bebeb0e0

预先如上面，先计算出方向向量的点积即可

或者：



abaxbxaybyazbz a,a,a0A

-1

1T

Aa,a,a

1





0

T

求出A即可得到



abababa0b0

u()aubu

u0,

()a

u

uu

b



∴ab

u0,



ˆxrsinsineˆyrcoseˆz rrsincose

rsincos

1i

ˆeˆ)ˆeˆ)rcoseˆ0 (ersinsin(e22



4

ˆY1,1eˆ)Y1,0eˆ0 (Y1,1e34

rY1,u 3

∴ru




6.证明:对(1.3.16) imik有detilijklmk

jl

jmjkkl kmkk

对哑指标求和,此时有kk3,且有

3detimijklmk



il

jlilimjljkdetikdetjmklkmkl令

il

im中kj,令jkdetikdetjljm

中kklkm

kli,合并后有

km

ijkilimlmkdet

jliljmimjl jm

得证.

对(1.3.17)

由(1.3.16)有,ilij

ijkljkdetiljjijjl

jl

jj此时有jj3,故有ijkljk3ilil2!il 故ijkijk2!ii3!





jm

km




习题1.4



1．证明：A(BC)B(CA)CAB0



证明：A(BC)ACBABC

B(CA)BACBCA















CABCBACAB

且 ABBA,ACCA,BCCA



A(BC)B(CA)CAB0 所以，





2．将下述量写成矢量表达式 1）inlirslmpstpanarbmct 2）inlkrslmpstpaibkcmdnerft 解：1）

inlirslmpstpanarbmct(nrlsnslr)(lsmtltms)anarbmct

=(nrlslsmtnrlsltmsnslrlsmtltmsnslr)anarbmct

3a2(bc)a2bca2bc(ab)ac

2

abc(ab)ac





2)

inlkrslmpstpaibkcmdnerftstp(krsbker)ftlmp(inlaidn)cm

(be)f(ad)cf(eb)c(da)







关键一点:若是点乘：找脚标相同的；

若是叉乘：找ijk，按顺序，a,b,c, abc

i

j

k





3．设I为二阶单位张量，试证：



abcIabcbcacab




证明：先验证恒等式 lmnij

方程两边同乘以in得

iljmnimjnlinjlm （*）



ijlmnijij(iljmnimjnlinjlm)

即 3lmnlmnmnlnlm,即 lmnlmn



上式只是证明了当i=j时是成立的

当ij时，左边为0，

对于右边：因为ij，所以当ik0 时，必有j0 （此时j必与某个脚标相同）

所以右边也等于0

当ij时，i必与m,n,l中的某一个形同，不妨设为m。而m,n,l互不相同，若

不然为0；所以右边等于lmn

（*）两边同乘以albmcn得：

albmcnlmnijalbmcn(iljmnimjnlinjlm)



abcijaibcbicdciab

jj

[abcI]ij[abcbcacab]ij





j







即abcIabcbcacab 证毕。





4．证明：若对任意矢量B，AiBi是一个标量（或赝标量）；则是A一个矢量（或轴矢量）。





若对任意轴矢量B，AiBi是一个标量（或赝标量），则A是一个轴（或极）矢量。

证： 先证明A是矢量。

在空间转动xiaijxj下，由AiBi是标量可知： (ABii)ABiiABii

'

''



'

'

又B是极矢量，BiaijBj

所以， AaiijBjABii

即 AjajiBiABii AiajiAj

'

'

'


所以，A是矢量 当空间反演变化时，Bi'Bi

'''

由于AiBi是标量，(ABii)ABiiABii



即Ai'Ai



所以，A是极矢量

同理可证，其它三种情形



5．证明：a(bc)(ac)b(ab)c

证明：

a(bc)aibjckei(ejek)aibjckei(jkmem)aibjckjkmimlel



aibjck(jlkijikl)el(aiciblajbjcl)el(ac)b(ab)c



6．证明：a(bc)b(ca)



(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc) 

(ab)(cd)[a(bd)]c[a(bc)]d



Tik(aibkakbi)2(ab),

证明：1）

iijkTjk

12

a(bc)aibjckei(ejek)aibjckijkaibjckjkib(ca)

2）由第一问可得:

(ab)(cd)b((cd)a)



b((ac)d(ad)c)(ac)(bd)(ad)(bc) 3) (ab)(cd)((ab)d)c((ab)c)d 

[a(bd)]c[a(bc)]d

1

4) 2(ab)2lambnlmn2ljkTjkambnlmn

2

Tjkambn(jmknjnkm)


Tjk(ajbkakbj)Tik(aibkakbi)



1

dni0 411

dnnij ninjij

431

dninjnk0 ninjnk411

dnnnnijklikjliljk ninjnknlijkl415

7．证明：ni

证明：1）ni为一阶不变张量，即不变矢量 ni为零矢量，即ni0

2）ninj是不变二阶张量ninjij

1

..........令ninjij，取i=j，dnini1

4



1

..........ii1..................原式得证

3

3）

ninjnk为三阶不变张量 ninjnkAijk,其中A为一常数

但是，ninjnkninknj（因为n矩阵内容不变，所以可以交换） 而ijk是两两反对称的，所以A只能为零 4）

ninjnknl为四阶不变张量ninjnknl(ijlkiljkikjl)..........令ninjnknl(ijlkiljkikjl)，

取i=j,k=l

1

则由d(nn)(nn)1iikk

4

............(iikkikikikik)(3333)151..........

不错的证明！！！

1

.....原式得证15


当然，也可以实际计算：dsindd, nsincossinsin,cos， 写出关于n的各阶张量，逐个检验分量。工作量很大，也比较烦。 8、

证明：以下假定1.42式已证



利用a是常矢量，可以提出平均符号外 1).an0





anainiaini0

2).(an)2|a|2/3





(an)2(aini)2ai2ni2ai2ni2aiai/3|a|2/3

3).

anbnab/3

anbnainibjnjaibjninjaibjij/3ab/3

4).anna/3



annaininjejaiejij/3aiei/3a/3

5).(an)22|a|2/3





(an)2ijkajnkilmalnmlmijkilmajal/3ijkilkajal/3

=2!jlajal/32ajaj/32|a|/3



2

6).(an)(bn)2ab/3



(an)(bn)ijkajnkilmblnmijkilmajblkm/3ijkilkajbl/3

=2!jlajbl/32ab/3





7).anbncndn(abcdacbdadbc)/15



anbncndnnaibjcldmninjnlnmaibjcldm(ijlmiljmimjl)/15

=(aibcildlaicibjdjaidibjcj)/15(abcdacbdadbc)/15




9、证明： uvIvuuv 证明：



(uv)Iijkujvkellim(emI)ijkilmujvkelem(jlkmjmkl)ujvkelem



ujvkekejulvmelemvuuv



(vI)u(vI)vuuvI 10、证明： (uI)

证明：



(vI)vuuvI 证明如下： 先证：(uI)





(uI)(vI)ujijkekIvllimemIijkilmujvlekem(jlkmjmkl)ujvlekem



ujvkekejujvjekekvuuvI

vI 再证：u(vI)vuu









u(vI)ujijkeiklmvlemIkijklmujvleiem(iljmimjl)ujvleiem



ujvieiejujvjeieivuuvI

(vI)u(vI)vuuvI 所以有(uI)

上面普遍处理了一个基本式：



ˆjueiijkeˆkIijkujeiek uIe

ˆi位置就可以与一般的两向量的矢量积比较，就是k分量由标量变为矢量。所以只要处理好e

了。



并且我们可以得到一个更强的结论：aTTa，T是对称的二阶张量

这其实是很显然的，因为叉乘只涉及一个指标，对左边，只涉及第一个指标，对右边只涉及第二个指标，而由于T的对称性，行向量等于列向量，即第一个指标和第二个指标等同，因此结论成立。



可想而知，对点乘也应成立，但是这里有一个细节，aT是一个行向量，Ta是一个列向量，但是根据上面分析，他们的元素必然是相等的。

TTT

这从矩阵语言中可以清楚看到：TaaTaT（点乘就是普通的矩阵乘法,对向量



T



加一个转置）



下面根据上面的讨论，给出一个形式化的证明：

vIIuv(Iv)uIuvvuuvu

(交换原因在于后面是通常给出的叉积形式）






(uI)(vI)(Iu)(vI)I(u(vI))Iv(uI)(uv)IvuuvI

第二步交换原因是二阶张量是不可以随便与其他张量交换位置的，故将其移到两端，处理起来时就方便很多。



习题1.5.

ˆi , TieˆiT TieˆiT, TieT

利用以上三式可以不必逐项展开，以第一题为例：

1.证明:

12

AAAAA.

2



解:

AAAijkeiekAlmnAmelenijkeiekA

xjxj







AAA

km

lmnnjkAmelAmelAmellx

xlxmj2Alel11Am2

elAAA.Am2xlxm2





不逐项展开解法：



ˆiAAeˆiiAAAAie

ˆˆ =AiAeiAeiiA 12

=AAA

2



即把原来的微分算符分离为微分和方向向量两部分。

2.证明:

1)C(AB)A(C)BB(C)A

解:

(AB)

kK

C(AB)C(AkBk)Cei

xiAkBBA

BkCikAkAkCikBkCik xixixixiA(C)BB(C)ACi


2)(C)(AB)A(C)BB(C)A

解:

(C)(AB)(C)ijkAjBkeiCiijk(AjBk)

xi

AjCiAjijkBkAjijkCiBkBkikjCiAj xixixixi

A(C)BB(C)A

3)AB(A)BBA CiBkijk



点乘是方向之间的作用，所以点乘始终要在A与▽之间 微分分别作用到A与B上

4)(AB)(C)B(A)CA(B)C

(AB)(C)ijkAjBkeiellmn(enC)

xmCnAjBkCkAjBkCj xmxjxk

B(A)CA(B)C5)(A)B(A)BA(B)AB

解:ijkAjBkimn解:运用演义法

Bk(A)BA(B)AB(Ai)BjejA(ijkei)(Bk)Ajej

xixjxi

BBkk

(Ai)BjejejAkekAj(Bk)Ajej

xixjxjxiBkejAk(Bk)Ajej

xjxi

另一方面,

(A)B(ijkeiAj)BijkAjlinBnel

xkxk





AjBjekAjBkej

xkxk

所以,

(A)B(A)BA(B)AB



3.证明:


1)T解:



n

0

T



n



2

n

ijkeiekTijkeiTn

xjxjxk





因为ijkei

22n

TikjeiTn

xjxkxkxj

n



所以T

0







其实想法很简单：

ˆrr0,rnr 理解一点的方向就是n

所以，T

2)T解:



n

0（同方向的两个向量的矢量积为0）



n0

0

n0n0

TelijkeiekTijkekTxlxjxixj



n0n0

因为ijkekTjikekT

xixjxjxi



n0





所以Tn00

同样可以认为T

3)T

n0



ˆr垂直的，所以点乘为零 是与n

n0

2

n0



n0

TT



n0n0

TijkeienTeeeeTeklmnelijkixkkmnkxnxjxmjmn0n0eiejTei2eiTTn02Tn0

xjxixj



n0







4 .

ˆi证明:e



ˆiˆie e

xixixi


fff





ˆiˆiˆˆˆj证明：fefefeefjejjixixixi



f

ˆˆˆˆˆˆeifjejeifjxejeixeixfffxiiii





fff’



f

ˆiˆkfijkeˆikfk证明：fijkeexxjxjj

ˆ(ekf)ˆiˆifk　　　　　　　ijkeijke

xjxj

ˆifk　　　　　　　fikje

xj





fff





ˆˆˆˆ证明：feifeifjejeiffixixixixi





ˆiffeˆi　　　　　　efifi

xixixixi



　　　　　　ff





gffgfg



ˆiijk[eˆklmneˆlˆng]证明：fgfjee

xmˆiijklmnkl　　　　　　　fje

gng

ˆiijkkmnnfje

xmxm

g

　　　　　　　imjninjmn

xmˆi　　　　　　　fje

gjxi

fj

gi

ˆiexj





ˆiˆjfkeˆk 　　　而gfegjexi

ˆi　　　　　　　　fke

gjxi

ˆjeˆkfjeˆie

gjxi






ˆieˆjˆk 　　　　fgfiegke

xj　　　　　　　fiij

gkg

ˆkfikeˆk exjxi



　　所以fggffg



　　即gffgfg



f

f





ff

ˆiˆi 证明：fefe()xixi

ff



fifi

ˆ 证明：feifxixixiˆiffef

　　　　　

xi





f

f



fˆiˆkfijkeˆik证明：fijkeexjxj



fˆkfeˆikˆiijkeijke

xjxj

ff

ˆjeˆiijkeˆke





ˆkffe

ˆlˆjeˆiˆkijkeˆi ijkeeexlxj



f

对比有f








5、

Prob.1 Prove that |x|x

ˆx/|

x| 证：|

x|(x1

ixi)2,

|x|ei(xxei(2x

1ˆi

)xixi2))

1

xˆ i2(xixi2|x|

下面先证Prob。4

Prob.4 Prove that (an)nan1aˆ, for a|x

x| 证：

 f=

f



且  aa

ˆ



 a

n

n



a

a

a na

n1

a

ˆProb.2 Prove that a22a, for a|x

x| Prob.3 Prove that (1/a)aˆ/a2, for a|x

x| Prob.4的推论

Prob.5 Prove that f(x) is a vector, if f(

x)function.

fxeˆf(x)x fx为标量 fxi也为标量i

xi

f

xeˆf(x)ix为矢量i另证：

is a scalar




ˆe[f(x)]xf

＇i

i

'

i

'



ˆi(x')e

xj''

　　　　f(x)x'

xji　　　　aij



f(x)xj





ˆjf(x)e

xj



　　　　aij[f(x)]jˆj　　　　aije





Prob.6 Prove that xI

ˆmxm)(e(xm)xˆiˆiˆieˆmˆmeˆiI 证：xeeemiexixixi

ˆ(Ixxˆˆ)/r Prob.7 Prove that x

1111

ˆx/rxxI/r2xxˆI/rxxˆˆIxxˆˆ/r 证： x

rrrr





Prob.8 Prove that x3



证： x



ˆixexi



xi

ii3 xi

ˆ2/r) 是Prob。10的特殊情况 先证Prob。10 因为Prob。9 (x

ˆ)(n2)rn1 Prob.10 Prove that (rnx



ˆrn1xrnxrnxn13rn1证： rnx

ˆ2/r 特殊的，n＝0 时，x








Prob.10 Prove that x0

ˆeˆiijk证： x

x

ˆkxeˆiijkkeˆiijkkjeˆiikk0; exjxj



x

Prob.11 Prove that 30

r



1x1

ˆx0证： 33x3x0(3)r4r

rrr

ˆ)0 Prob.12 Prove that (rnx

ˆrn(xˆ)rnxˆ0nrn1xˆxˆ0; 证： rnx



Prob.15 Prove that 2证明： 假设

1

43(x) r



G4(x)

2

3

1

那么只要证明G即可

r

采用球坐标，由于坐标原点在（0，0，0），点源产生的场在无界空间



中应只与r有关，于是

1d2dG3

G2(r)4(x)

drrdr

2

当r0时

d2dG(r)0 drdr

其一般解为

GC1

1

C2 r

取C20,不失一般性，得


GC1

2

1 r

3



考虑r＝0时的情形，对G4(x)两边在以圆点为球心，为半径的小球体内作体积分



从而



dvG4

2





dv(x)4

3

limdv2G4

0



而

G2

dvGdvGdGdssn

（其中n为曲面的法向） 故

limd

0

s

GG

limd4 s0nrr

1

将GC1代入上式

r

2G21limdlimCsindd4C14 12000s0rr

C11

即

G

1

r

证毕。



2

注：事实上，因为Gx，我们知道在全空间中G



14r

，所以

2

14x r




ara

rj

ˆiˆiˆiijaieˆia证明：areajeajrjajexixi



1a

ˆraanˆrnˆr anrr

rrrj

ˆˆˆˆj 证明：aeeaiaieanriijxrxirxirj

r

　　　　　　ai

rjxi

rjr2

r

xi

ˆje

ˆjijaier





ˆirrˆaeijej

r3



ˆr)nˆr1a(ana

ˆrnˆr　　　　　　aanr

rrr

r''

ˆr(r)(r)rn

r(r)rˆiˆi证明：(r)e(r)exirxi



ˆjˆrjea1reiia

rrrr

 

x

ˆii'rnˆr　　　　　　'rerr

　　　　　＝'(r)

rrnnrnnnrn　0nn1 6、 （１） rnnrnnnrn

nk

ˆiˆknnnrnijkeˆirnijke00exjxj

rnnnrnnnrnrn



rnrn312rnnnnrnrnrnrn000



rr

（2）rnnr＝r3 rr

rr

rnnr＝r0 rr





rr

[(rn)n][(r)]0

rr




7.设a,k,E0均为常矢量，试求下列各量：

ar; ar; E0sinkr;E0sinkr

解:



rrˆiˆi1)araeaearaIaxixi

2)ararar0aIa



3) E0sinkrE0sinkrE0sinkr



而krkrrkk



E0sinkrE0kcoskr



4)E0sinkrE0sinkrE0sinkr



rr

[(rn)n][(r)]0

rr



























0E0krcoskrE0kcos

0E0























krkcoskr









E0kcoskr



8. 试由Gauss定理证明



dvAdA ； dvd.

v

s

v

s

解：Gauss定理:



FdFdv 

s

v



1.证明dvAsdAv



证：左边点乘常矢量a 得



( dvA)advAaAaAadv

vvv



a=0;



 ( dvA)aAadvAaddAa(dsssA)avv



dvAdA





vs



2.证明:dvd

v

s

 证：(dv)advadvaavvv



a为任意矢量 a0;



(dv)advaadda

v

v

s



s



 dvd

v

s

 9. 试由Stokes定理证明 FdrFd 

L

s

Stokes 定理：

L



FdrFd

s


证明：d

s



证：左边点乘一个常矢量a



dada(a)d(aa)d

ssss



＝(a)dadldlaLLs



ddl

L



dl





sL







nnAA10、设矢量在体积V中满足A0，且在体积V的边界面S上满足=0，这里为

边界的法向，试证：（1）



V



dvA0（2）



A(r)

Rdv0

VRr

，原命题有误，应为点乘。

RR式中作用在矢径上。

解：.(1) 因为A0,所以可以表示为AB

又因为nAnBijknijBk0,所以nBijkniBk0















n没有道理，最多就是Bconstant



严格证明：

AAIArArArAr

所以



V

dvAdvArdnAr0

V

S



(2)



A(r)11

RdvdvA(r)RdvA(r)r

VVVRrRrRr



A(r)1

dvrdvrA(r)

VVRrRr

nA(r)1

ddvA(r)0VrSRrRr


11、计算积分(1)

S

(da)r

S

S

；



d(ar)

S

V



a 式中是常矢量。

V

V

V



(da)rdardvardvardvaIdvaVa 

(2)



S



d(ar)dv(ar)dvardvaIdvaVa

V

V

V

V



d；12、将下列积分

S





df



S

；



(da)f

S



a用体积分表出，式中是常矢量，为



标量场，f为矢量场。

(1) (2) (3)



S



ddv

V

S

dfdvf 

V

S

(da)fdafdvafdvaf

S

V

V







13、设f(a,r)是r的可微函数，且满足下述线性条件：

f(c1a1+c2a2,r)=c1f(a1,r)+c2f(a2,r)



式中c1与c2是任意常数（相对于ai和r而言）。试证明：

 df(nr)dvf(,r)

s

v



式中是体积的边界面，是的外法向；微分算子作用在上，且在所有变量的左方。

证明：因为相对于ai和r而言可以看作系数，所以由题述线性性质我们有

xi



ˆiˆi,r)eˆidvf(eˆi,r) （1-5.13.1） dvf(,r)dvf(e,r)dvf(exixivvvv

再利用dv

V



d我们可得：

S



ˆidvf(eˆi,r)eˆiˆi,r)ˆeˆif(eˆi,r)ˆi,r)（1-5.13.3） edf(edndnif(e

v

S

S

S

再次利用先行性质我们就得到

S

S



ˆi,r)ˆi,r)ˆ,r) dnif(edf(niedf(n

S

我们证明了




df(nr)dvf(,r) （1-5.13.4）

s

v





14、将积分d(r)(r)用面积分表出，式中与都是标量。

L

解：因为

d(x)dxi(x)dl(x) （1-5.14.1）

xi

由替换法则



ddl （1-5.14.2）

s

L



并化简我们可以得到

L

L

d(x) (x)dl[(x)(x)] 



S

S

(d)[(x)(x)] d{[(x)(x)] }所以

d(x) (x)d{[(x)(x)] }

 d{(x) (x)(x)(x) }

d(x)(x)

SS

L

S



（1-5

15、证明:

v

dv{A[(B)]B[(A)]}dd[B(A)A(B)]

s

证明：根据



(AB)B(A)A(B) （1-5.15.1）

可得:

[B(A)A(B)](A)(B)B[(A)]

（1-5.15.2）

[(B)(A)A[(B)]A[(B)B[(A)]

又根据替换关系:

dvd （1-5.15.3）

v

s



可得



(B)]A[)]A}ABdv{A[Bd(dB

v

s

[

（1-5.15.4）




习题1.6



1．矢量A、B和C分别在直角坐标系、柱坐标系或球坐标系中由下式表示：

Aex(3y22x)eyx2ez2z22

Berzsinezcosez2rzsin Cesincosecoscosersin

将它们表示为一个标量函数的梯度或一个矢量的旋度。

解：(1) 对于Aex(3y22x)eyx2ez2z ex

A

x3y22x

eyyx2

ez

0 z2z



A(3y22x)x22z2020

xyz

故A可表示为一个矢量的旋度。 设该矢量为(P,Q,R)





ex

则A(P,Q,R) 

xPRQ2

3y2xyz

PR

x2

zx

QP

xy2z

eyyQez

22

=ex(3y2x)eyxez2z zR

3

有解:Pxz, Q2xz, Ry （解不唯一）

2

详细过程：

由由

RQ3y22x,可以设Ry3fx,z,Q2xzgx,y yz

PRx2，结合第一式结果，可以设Px2zhx,y,Ry3fz zx


由

QP2z并结合前面两式结果，可以得到：Q2xzgy,Px2zhxxy

所以Px2zhx,Q2xzgy,Ry3fz，这是一个较为普遍的解，但也只是其中的一部分解而已。



A 可表示为矢量x2z,2xz,

y3的旋度.

(2) 对于Berz2sinez2cosez2rzsin





B(rz2sin)(z2cos)(2rzsin)0

rrrz



B(2rzsin)(z2cos)er(z2sin)(2rzsin)e

zrzr12

(rz2cos)(zsin)ez0rr

故B可表示为一个标量函数的梯度，即BT。



T

TTTereez, rrz

T2zsinr

Tz2rsinf1(z,)

Tz2cos  z2rsinf2(z,r) r2

zrsinf3(r,)T

2rzsinz

f1(z,)f2(z,r)f3(r,)0 方程有唯一解：T=z2rsin+constant

2

因而 B可表示为标量函数zrsin的梯度。



(3) 对于 Cersincosecoscosesin




(sinsin)(coscos)er

11

(sincos)(rsin)e

rsinr

1(rcoscos)(sincos)err0

故C可表示为一标量函数的梯度。

1rsin

C



设CT

T

TT1Teree rrrsin

T

rsincos

Tsincosrf1(,)

T coscos  sincosrf2(r,)

rsincosrf3(r,)1T

rsinsin

f1(,)f2(,r)f3(r,)0

方程有唯一解：Tsincosr



因而C可表示为标量函数sincosr的梯度.

2．证明在全空间中：

（1）.一个非零的无旋场的散度不能处处为零。 （2）.一个非零的无散场的旋度不能处处为零。

该命题有误，例如非零矢量场（yz, xz, xy）的散度，旋度均处处为零。 如果将条件“非零矢量场”改为“非零有界矢量场”，该命题成立，证明如下：



证明：命题(1) (2)的逆命题均为“F0,满足FF0.” 

假设一个非零的无旋场的散度处处为零，即F0,FF0.成立



此时，FF0，由Helmholtz 定理



'''F(r)'F(r)

F(r)dd 4R4RSS




''F(r)1

d考虑，对任意一点，取S为以为球心，R为半径的球面，则面积分中rr4RRS

为积分常数，提到积分外部，得



''F(r')'F(r)1

dd， 4RR4SS

'F(r')daF令，有界，因而a有限。（为什么a有限？） 4S

当R时，



'ˆ'F(r)aaRa

d'2。 4RRRrrS

'F(r')d0。 故4RS



'F(r)'

d0 同理，R,4RS





即对任意点r，有F(r)0，与假设F0矛盾，因而命题不成立。

所以，在全空间中：一个非零的无旋场的散度不能处处为零。

一个非零的无散场的旋度不能处处为零。



上面证明全无意义。！！！





这里的全空间，其意义应该是指物理量F在无穷远处为零。





习题1.7

1.设任一矢量在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中的表达式为：

y

Aaxexayeyazezaeaeazezareraeae

证明下述关系式：

ρ

Ф

Ф

x


acossin0axasincos0aya001zaz



arsincossinsincosaxacoscoscossinsinay

asincos0az

解：因为在欧氏空间中坐标变换同基矢变换，变换矩阵的系数的意义是新基矢在旧基矢上的

投影。

在柱坐标系中：

ecosexsiney,esinexcosey,ezez

acos

即：asin

a0z

在球坐标系中：

sincos0

0ax0ay

1az

z

ρ

Φ x

y

θ

x





ercossinexsinsineycosezecoscosexsincoseysinez esinexcosey

arsincos

即：acoscos

asin



sinsincossincos

cosax

sinay

0az


另一个相对系统的做法：

ˆi1xieˆn利用e

hnun

xrsincos

且yrsinsin zrcos

，h

2n



xixi

(这里，n不求和)

unun

先求出hn，hr1,hrsin,hr；然后求出变换矩阵

2．在柱坐标系与球坐标系中，用函数表示下列电荷分布： （1）均匀分布于半径为a的平面圆盘上的电荷Q; （2）均匀分布于半径为a的细圆环上的电荷Q. 解：（1）圆盘上电荷分布为

Q

(),ra

（r,,z）a2zz0

0,ra

则



2

0

drdrdzQ

0



a



作坐标代换zrcos则

Q

(rcosz0),rsina

（r,,）a2

0,rsina



（2）(r,,z)

Q

()(ra) 2azz0

(r,,)

Q

(rcosz0)(rsina) 2a

2

2

yz2x3.方程 u222　 abc

定义了一椭球。求椭球表面上任一点的外法向单位矢量。

解：对于任一曲面方程F(x,y,z)0上P0(x,0y0,z0)一点，假设F的三个偏导数Fz,Fy,Fx在P0连续且都不全为零，在曲面F上过P0的任一曲线为


xx(t)

yy(t) zz(t)

F(x(t),y(t),z(t))=0

上式两边对t求导，并令t=t0,有

Fx(P0)x(t0)Fy(P0)y(t0)Fz(P0)z(t0)0

'

'

'

所以向量n(F(P0),Fy(P0),Fz(P0))与曲面上过P0任一曲线的切线的切向量

x



(x(t0),y(t0),z(t0))垂直

'

'

'

所以曲面上任一点的法线方向为n(F(P0),Fy(P0),Fz(P0))

x

2

y对这里Fx22z2u abc222y2x2y2z

椭球ux22z2　上任一点的法线方向为（2,2,2）

abcabc

2

2



将椭球中任一点的坐标带入上式，例如：第一象限内的点，法线方向的三个坐标均为正，指向椭球外，所以可以判断（

2x2y2z

,2,2）即为椭球的外法线方向。 2

abc

其单位矢量即为：(



2x2y2z2x22y22z2

,,),r()(2)(2)2u 2222rarbrcabc


习题1.8



ˆrcoseˆsin，求E,E 1、 设电场在球坐标系中的表达式为EE0e

解：在球坐标系中：

hr1,hr,hrsin



E



1r2sin

2

EcosrsinEsinrsin00r0





1

2E0rsincos2E0rsincos2

rsin0

errersine1E2det

rrsin



0E0cosE0rsin

2E0sin2e

r



2、 设p是常矢量，在球坐标系中计算





prpr

3 与 3

rr

解：由p是常向量，不妨将其放在z轴正向上，如图 则prprcos,prprsin （1）







z

cosr2

p

r

cos

1r2rˆr



ˆ





prcos3p2

rr



r

p

2pcospsinˆ

ˆrr3r3pˆˆsin32cosrr





y



O

（2）、

x


prsinˆ3p2

rr

p2sincos2sin2ˆ

ˆ2r 

rsinrr



pˆˆsin2cosr3r

