欧拉方程的求解

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欧拉方程的求解

1.引言

在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.

几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”

欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示

圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位



以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.

在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如yxK的解，进而求得欧拉方程的解.

但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.

2.几类欧拉方程的求解

定义1 形状为

xny(n)a1xn1y(n1)

an1xyany0 （1）

的方程称为欧拉方程. （其中a1，a2，



，an1，an为常数）

1


2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如yxK的解）

二阶齐次欧拉方程： x2ya1xya2y0. （2） (其中a1,a2为已知常数）

我们注意到，方程（2）的左边y、y和y的系数都是幂函数（分别是x2、

a1x和a2x0），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂

函数yxK来尝试，看能否选取适当的常数K，使得yxK满足方程（2）. 对yxK求一、二阶导数，并带入方程（2），得

(K2K)xKa1KxKa2xK0

或

[K2(a11)Ka2]xK0,

消去xK，有 K2(a11)Ka20. （3）

定义2 以K为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.

由此可见，只要常数K满足特征方程（3），则幂函数yxK就是方程（2）的解.

于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为

(i) yc1xK1c2xK1lnx, （K1K2是方程（3）的相等的实根） (ii)yc1xK1c2xK2, (K1K2是方程（3）的不等的实根) (iii)yc1xcos(lnx)c2xsin(lnx).（K1,2i是方程（3）的一对共轭复根）

（其中c1、c2为任意常数）



2


证明 （i）若特征方程（3）有两个相等的实根: K1K2，则

y1xK是方程（2）的解,

1

且设y2u(x)，y1xK1u(x)（u(x)为待定函数）也是方程（2）的解（由于

y2

u(x)，即y1，y2线性无关），将其带入方程（2），得 y1

xK1[(K12K1)u2K1xux2u]a1xK1(K1uxu)a2xK1u0,

约去xK1，并以u、u、u为准合并同类项，得

x2u(2K1a1)xu[K12(a11)K1a2]u0.

由于K1是特征方程（3）的二重根， 因此

K12(a11)K1a20

或

2K1(a11)0,

于是，得

x2uux0

或

xuu0,

即 (xu)0, 故 u(x)c1lnxc2. 不妨取u(x)lnx，可得方程（2）的另一个特解

y2xK1lnx,

所以，方程（2）的通解为



3


yc1xK1c2xK1lnx.

（其中c1，c2为任意常数）

（ii）若特征方程（3）有两个不等的实根: K1K2，则

y1xK，y2xK是方程（2）的解.

1

2

y2xK2

又K1x(K2K1)不是常数，即y1，y2是线性无关的. y1x所以，方程（2）的通解为

yc1xKc2xK.

1

2

（其中c1，c2为任意常数）

（iii）若特征方程（3）有一对共轭复根：K1,2i（0），则

y1x(i)，y2x(i)是方程（2）的两个解，

利用欧拉公式，有

y1x(i)xeilnxx(cos(lnx)isin(lnx))， y2x(i)xeilnxx(cos(lnx)isin(lnx)),

显然，

xcos(lnx)

y1y2

2

和

y1y2

2i

是方程（2）的两个线性无关的实函数解.

xsin(lnx)

所以，方程（2）的通解为

yc1xcos(lnx)c2xsin(lnx).

（其中c1，c2为任意常数）



4


例1求方程x2yxyy0的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为

K(K1)K10，

即 (K1)20, 其根为： K1K21, 所以原方程的通解为

y(c1c2lnx)x.

（其中c1，c2为任意常数）

例2 求方程x2yxy8y0的通解.

解 该欧拉方程的特征方程为

K2(11)K80，

即 K22K80, 其根为： K12，K24， 所以原方程的通解为

y

c1

c2x4. 2x

（其中c1，c2为任意常数）

例3 求方程的通解x2y3xy5y0. 解 该欧拉方程的特征方程为

K(K1)3K50，

即 K22K50,



5


其根为： K1,212i, 所以原方程的通解为

1

y[c1cos(2lnx)c2sin(2lnx)].

x

（其中c1，c2为任意常数）

2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）

x2ya1xya2yf(x). 二阶非齐次欧拉方程：（4）

（其中a1，a2为已知实常数，f(x)为已知实函数）

为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设

a11K1K2，a2K1K2, （5）

则方程（4）变为

x2y(1K1K2)xyK1K2a2yf(x)，

即

x(xyK2y)K1(xyK2y)f(x), （6）

根据韦达定理，由（5）式可知，K1，K2是一元二次代数方程

K2(a11)Ka20 （3） 的两个根.



具体求解方法：

定理2 若K1，K2为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 yxK2xK1K21[xK11f(x)dx]dx. （7）

证明 因为K1，K2为方程（2）的两个特征根，



6


于是方程（4）等价于方程（6），

令 xyK2yp, 代入方程（6）并整理，得

K1f(x)

p

xxK2py, xx

p

和

y

解之，得方程（4）的通解为

yxK2xK1K21[xK11f(x)dx]dx.



由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.

定理3 若K1，K2 为方程（2）的两个特征根，则

（i）当K1K2是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为

yxK[lnxxK1f(x)dxlnxxK1f(x)dx],

1

1

1

（ii）当K1K2是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为

y

1

[xK1xK11f(x)dxxK2xK21f(x)dx],

K1K2

（iii）当K1,2i是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为

y

1

x[sin(lnx)x1cos(lnx)f(x)dxcos(lnx)x1sin(lnx)f(x)dx]



证明 （ii）当K1K2是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得



7


yxKxKK1[xK1f(x)dx]dx

2

1

2

1



（8） 1K11K2K1K2K1K2K11

x{xxf(x)dxxd[xf(x)dx]}K1K2

1

xK2[xK11f(x)dx]dxK1K2

K1K2





1K1K1

[xK1x1f(x)dxxK2x2f(x)dx]

K1K2



（iii）当K1,2i是方程（2）的共轭复特征根时，K1K22i， 再由欧拉公式有

xKxixeilnxx[cos(lnx)isin(lnx)],

1

xKxixeilnxx[cos(lnx)isin(lnx)],

2

将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为

y

1



x[sin(lnx)x1cos(lnx)f(x)dxcos(lnx)x1sin(lnx)f(x)dx]

（i）的证明和（ii）类似.

例1求方程x2y3xy4yx2lnxx2的通解.

解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K24K40， 特征根为 K1K22, 所以由定理3，原方程的通解为

yx2[lnxx3(x2lnxx2)dxlnxx3(x2lnxx2)dx]

1132

11

c1x2lnxc2x2x2[(lnx)3(lnx)2]

62

x2{lnx[(lnx)2lnxc1][(lnx)3(lnx)2c2]}

1

2

（其中c1，c2为任意常数）



8


例2求方程x2y2xy2yx3ex的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为

K23K20，

特征根为 K12，K21， 所以由定理3，原方程的通解为

yx2x3x3exdxxx2x3exdx

x2(exc1)x(xexexc2)c1x2c2xxex

（其中c1，c2为任意常数）

例3求方程x2yxy2y

x

的通解.

cos(lnx)



解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为

k22k20，

特征根为 K1,21i, 所以由定理3，原方程的通解为

xx

dxcos(lnx)x2sin(lnx)dx]

cos(lnx)cos(lnx)

11sin(lnx)

x[sin(lnx)dxcos(lnx)dx]

xxcos(lnx)

yxsin(lnx)x2cos(lnx)



x{sin(lnx)(lnxc1)cos(lnx)[ln(cos(lnx)c2)]}

x[c1sin(lnx)c2cos(lnx)]x[sin(lnx)lnxcos(lnx)ln(cos(lnx))]

（其中c1，c2为任意常数）

在定理3中，若令f(x)0，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.



9


推论 方程（2）的通解为

(i)yc1xK1c2xK1lnx, （K1K2是方程（2）的相等的实特征根） (ii)yc1xK1c2xK2, （K1K2是方程（2）的不等的实特征根） (iii)yc1xcos(lnx)c2xsin(lnx).（K1,2i是方程（2）的共轭复特征根）

（其中c1，c2为任意常数）

2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）

三阶非齐次欧拉方程：x3ya21xya2xya3yf(x). （其中a1，a2，a3为常数） （9）对应的齐次方程为x3ya1x2ya2xya3y0. 特征方程为K3(a13)K2(2a1a2)Ka30.

定理4 设K1是方程（11）的根，K2是方程

K2(3K2a11)K[3K2(K21)2a1K1a2]0

的根，则（9）的通解为

yxK1

{xK2

[x(2K2

3K1

a1

1)x(K2

2K1

a1

2)f(x)dx]dx}dx .

证明 根据条件ycxK1（c为任意常数）是方程（10）的解. 设yc(x)xK1是方程（9）的解（其中c(x)是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得

c(x)(3K1a1)x1c(x)[3K1(K11)2a1K1a2]x2c(x)

[K3

(a23

13)K(2a1a2)K1a3]xc(x)x

(K1

1

13)

f(x)

10

（9）

（10） （11）

（12） 13）

（
因为K1是（11）的根，则

K13(a13)K12(2a1a2)K1a30,

于是（13）式化为

c(x)(3K1a1)x1c(x)[3K1(K11)2a1K1a2]x2c(x)x(K13)f(x)（14）

这是以c(x)为未知函数的二阶欧拉方程. 设K2为（14）对应的齐次方程的特征方程

K2(3K1a11)K[3K1(K11)2a1K1a2]0, （15）

的根，则

c(x)xK2[x(2K23K1a1)x(K2K12)f(x)dx]dx.

从而c(x){xK2[x(2K23K1a1)x(K22K1a12)f(x)dx]dx}dx. 故方程（1）的通解为

yxK{xK[x(2K3Ka1)x(K2Ka2)f(x)dx]dx}dx.

1

2

2

1

1

2

1

1



定理5 设K1是方程（11）的根，K2是方程（15）的根，则

（i）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的单实根，则（9）的通解为

xK1K2(K1K22)1(3K1K2a1)(2K1K2a1)y[xxf(x)dxxxf(x)dx]dx(3K12K2a1)1（ii）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为

x

yx

K1

{[sin(lnx)x

(K12)

cos(lnx)f(x)dxcos(lnx)x(K12)sin(lnx)f(x)dx]}dx

（其中



13K1a11

3K126K12a1K14a2(a11)2） ，

22

11


(iii）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的重实根，则（9）的通解为

yxK{xK[lnxx(KK2)f(x)dxlnxx(KK2)f(x)dx]}dx,

1

2

1

2

1

2

（iv）当K1是方程（11）的三重实根，方程（15）变为K22K10，有

K21，则（9）的通解为

yxK1{x1[lnxx(K11)f(x)dxlnxx(K11)f(x)dx]}dx. 证明 （i）因为K2是方程（15）的单实根，得（14）的通解为

c(x)

1

[xK2x(K1K22)f(x)dxx1(3K1K2a1)x(2K1K2a1)3f(x)dx]

(3K12K2a1)1

则（9）的通解为

xK1K2(K1K22)1(3K1K2a1)(2K1K2a1)3

y[xxf(x)dxxxf(x)dx]dx(3K12K2a1)1（ii）因为K2是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根

K21,2

(1a13K1)i3K126K12a1K14a2(a11)2

, 

2

得（14）的通解为

c(x)

x



[sin(lnx)x(K12)cos(lnx)f(x)dxcos(lnx)x(K12)sin(lnx)f(x)dx]

则（9）的通解为

yx

K1

{[sin(lnx)x

x

(K12)

cos(lnx)f(x)dxcos(lnx)x(K12)sin(lnx)f(x)dx]}dx

（其中

13K1a11

3K126K12a1K14a2(a11)2） ，

22

（iii）因为K2是方程（15）的重实根，得（9）的通解为

yxK{xK[lnxx(KK2)f(x)dxlnxx(KK2)f(x)dx]}dx.

1

2

1

2

1

2

12


（iv）当K1是方程（10）的三重实根（a133K1），方程（15）变为

K222K210，有K21，将a133K1，K21代入（12）式得

yxK1{x1[x1x(K11)f(x)dx]dx}dx,

对上式分部积分得（9）的通解为

yxK{x1[lnxx(K1)f(x)dxlnxx(K1)f(x)dx]}dx.

1

1

1



例1 求三阶欧拉方程x3y3x2y6xy6yx的通解. 解 原方程对应的齐次方程为

x3y3x2y6xy6y0,

其特征方程为

K36K211K60，

解得其特征根为1，2，3，

取 K11， 将K11，a13，a26，代入方程（15），得

K22K20,

解得

K21或0，

利用定理5（i）的通解公式有

yx[xx3dxx2dx]dx

11

xlnxc1x3c2x2c3x. 22

（其中c1，c2，c3为任意常数）







13


例2 求三阶欧拉方程x3y4x2y13xy13yx的通解. 解 原方程对应的齐次方程为

x3y4x2y13xy13y0,

其特征方程为

(K1)(K26K13)0，

从而解得特征单实根为

K11，

将K11，a14，a213代入方程（15），得到

K222K250，

解得 K21,212i. 令K212i，则1，2， 利用定理5（ii）的通解公式有

yx{[sin(2lnx)x3cos(2lnx)dxcos(2lnx)x3sin(2lnx)dx]}dx

11

xlnx[c2sin(2lnx)c1cos(2lnx)]c3x816

x

2



（其中c1，c2，c3为任意常数）



2.4 n阶齐次欧拉方程的求解（求形如yxK的解）

令yxK是方程（1）的解，将其求导（需要求出y、y代入方程（1），并消去xK，得 K(K1)



y(n1)、y(n)）

(Kn1)a1K(K1)

(Kn2)

14

a(n1)Kan0. (16）


定义3 以K为未知数的一元n次方程（16）称为n阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.

由此可见，如果选取k是特征方程（16）的根，那么幂函数yxk就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：

定理6 方程（1）的通解为

yc1y1c2y2

cn1yn1cnyn

（其中c1，c2cn1，cn为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）

的一个根所对应，其对应情况如下表： 方程（16）的根 单实根：K

一对单共轭复根：K1,2i

方程（1）通解中的对应项 给出一项：cxK 给出两项：

c1xcos(lnx)c2xsin(lnx)

k重实根：K

一对k重共轭复根：K1,2i

给出k项：xK[c1c2lnx给出2k项：

cK(lnx)K]

x[c1c2lnxx[d1d2lnx





ck(lnx)k]cos(lnx)dk(lnx)]sin(lnx)

k



例1 求方程x4y(4)8x3y(3)15x2y5xy0的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为

K(K1)(K2)(K3)8K(K1)(K2)15K(K1)5K0,

整理，得

K(K22K2)0，

其根为



15


K1K20，K3,41i，

所以原方程的通解为

yc1c2lnx

c3c

cos(lnx)4sin(lnx). xx

（其中c1，c2，c3，c4为任意常数）



例2 求方程x4y(4)6x3y(3)7x2yxyy0的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为

K(K1)(K2)(K3)6K(K1)(K2)7K(K1)K10，

整理，得

K410，

其根为

K1,2i，K3,4i（即一对二重共轭复根），

所以原方程的通解为

yc1cos(lnx)c2sin(lnx)c3lnxcos(lnx)c4lnxsin(lnx).

（其中c1，c2，c3，c4为任意常数）

3.结束语

从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在x0范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在x0范围内对其求解，则文中的所有

lnx都将变为ln(x)，所得的结果和x0范围内的结果相似.





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4.致谢

经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.

首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.

再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.

最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.

在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！







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5、参考文献

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199. [3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11. [4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144. [5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119. [6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.

[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748. [8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53. [9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.



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