等差数列求和公式

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等差数列求和公式

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意： 以上n均属于正整数。



一、其他结论

首项： 末项： 通项公式： 项数： 公差：



，则为





如：数列1,3,5,7,……,97,99 公差就是d=3-1=2 将 推广到

a1,a2,a3....an,n=奇数，Sn=（a（（n-1）/2)）*((n-1）/2)

二、特殊性质

1.在数列

中,若

,则有:

①若 ,则am+an=ap+aq. ②若m+n=2q,则am+an=2aq.

2.在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。

三、求和公式

设首项为 , 末项为 ① ; ② ; ③



, 项数为 , 公差为 , 前 项和为

, 则有:


; ④

, 其中

..



当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数

的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。 注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。 求和推导

证明：由题意得：

Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1② ①+②得：

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时) Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2 Sn==n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An）

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