习题详解-第2章-极限与连续

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习题2-1

1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) xn

n; n1

n



n

(2)xn2(1)；

11

； (4)xn21. nn1234

解：(1) 此数列为x1,x2,x3,x4,

2345

(3)xn3(1)

(2)x13,x21,x33,x41,(3)x131,x23所以limxn3。

n

,xn

n

,n1

所以limxn1。

n

,xn2(1)n,

所以原数列极限不存在。

111,x33,x43,2341

,xn3(1)n,

n



(4)x111,x2

1111,x31,x41,4916

,xn

1

1,n2

所以limxn1

n

2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；

(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列(-1)n有界，但它不收敛。 (3) 正确。

(4) 错误 例如数列xn1(1)





n

2

极限为1，极限大于零，但是x11小于零。 n

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：

n(1)n1

1; (1)lim

nnn22

1； (2)lim2

nnn1

(3)lim



52n2



n13n3

n(1)n111

1，只要n即可，所以可取证：(1)对于任给的正数ε，要使xn1

nn

正整数N

1



.

n(1)n11

1，所以 因此，0，N，当nN时，总有

n

.




n(1)n1lim1. nn

(2)对于任给的正数ε，当n3时，

n22n3n32n22

1222，只要n即可，所要使xn12

nn1nn1nn1nnn

2

以可取正整数Nmax,3.



n222

1，所以 因此，0，Nmax,3，当nN时，总有2

nn1

n22

lim21. nnn1

252n21762

()，(3)对于任给的正数ε，要使xn()

313n33(3n1)3n1n1

3

只要n

1221即可，所以可取正整数N. 33

2152n2

()，所以 因此，0，N，当nN时，总有

13n33

52n2

.

n13n3lim

习题2-2

1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)lim

1

;

xx2

x

x+



(2)lime；

x-

x

(3)lime； (4)limarccotx;

x+

(5)lim2;

x



(6)lim(x1)；

x-2

2

(7)lim(lnx1)； (8)lim(cosx1)

x1

x

解：(1)lim

1

0;

xx2

x

x+



(2)lime0；

x-

x

(3)lime0； (4)limarccotx0;

x+

(5)lim22;

x



(6)lim(x1)5；

x-2

2

(7)lim(lnx1)1； (8)lim(cosx1)2

x1

x

2. 函数fx在点x0处有定义，是当xx0时fx有极限的( D )

.




(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件

解：由函数极限的定义可知，研究fx当xx0的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时fx的变化趋势，而不关心fx在xx0处有无定义，大小如何。

3. fx00与fx00都存在是函数fx在点x0处有极限的( A ) (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件

解：若函数fx在点x0处有极限则fx00与fx00一定都存在。

x21;x0,

4． 设fx 作出fx的图像；求lim判别limfxfx与limfx；

x0x0x0x;x0,

是否存在?

解：limfxlim(x21)1，故limfx不存在。 fxlimx0，lim

x0

x0

x0

x0

x0

5．设fx

x0

xx

,x,当x0时，分别求fx与x的左、右极限，问limfxx0xx

与limx是否存在?

1;x0,

解：由题意可知fx，则limfxlim11，limfxlim11，因此

x0x0x0x01;x0,

limfx1。

x0

1;x0,

由题意可知x，limxlim11，limxlim(1)1，因此

x0x0x0x01;x0,

limx不存在。

x0



*6.用极限的精确定义证明下列极限：

(1)lim

1x

1;

xx1



x21

-2； (2)lim

x-1x+1

(3)limxsin

x0

1

0. x

1x222

1，只要x1即可. 1x1x1x

证：(1)0，要使fx(1)

.

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