三角形外角平分线公式

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三角形外角平分线公式

三角形外角平分线公式是指在一个三角形中，从某个顶点引一条直线，使得该直线与与顶点相对的两边的外角大小相等。这条直线就被称为三角形的外角平分线。本文将详细介绍三角形外角平分线的定义、性质以及相关的公式和推导过程。



一、三角形外角平分线的定义和性质

三角形外角平分线是从三角形的某个顶点引出的一条直线，使得该直线与与顶点相对的两边的外角大小相等。三角形的每个顶点都可以引出一条外角平分线，因此一个三角形共有三条外角平分线。



三角形外角平分线的性质如下：

1. 外角平分线与与顶点相对的两边的延长线相交于一点，该点称为三角形外心。

2. 外心到三个顶点的连线长度相等，即外心是三角形顶点的等距离点，也是外接圆的圆心。

3. 外角平分线将外接角分成两个相等的内角。

4. 外心到三角形各顶点的连线分别垂直于三角形的对边。



二、三角形外角平分线的公式和推导过程

下面我们将推导出三角形外角平分线的公式。设三角形的三个顶点分别为A、B、C，引出的外角平分线与边AB和AC的交点为D。我们要证明AD平分∠BAC。




连接CD。由三角形的内角和定理可得∠ADC + ∠ACD + ∠CDA = 180°，而∠ACD = ∠BAC + ∠ACB（外角的性质）。代入可得∠ADC + ∠BAC + ∠ACB + ∠CDA = 180°。



又因为∠ADC = ∠ACD（外角平分线的性质），所以上式可改写为∠ACD + ∠BAC + ∠ACB + ∠ACD = 180°，即2∠ACD + ∠BAC + ∠ACB = 180°。



注意到∠ACB + ∠BAC + ∠BCA = 180°（三角形内角和定理），所以上式又可以改写为2∠ACD + ∠BCA = 180°。



将∠ACD = ∠BCD（外角平分线的性质）代入上式得到2∠BCD + ∠BCA = 180°，即2∠BCD = 180° - ∠BCA，再整理得∠BCD = (180° - ∠BCA)/2。



由于∠BCD是三角形外角BAC的一半，所以我们得到∠BCD = ∠BDA。



因此，根据角的相等性质，我们证明了AD平分∠BAC，即AD是三角形外角BAC的平分线。



三、三角形外角平分线的应用举例

三角形外角平分线在几何学中有着广泛的应用。以下是一些具体的应用举例：



1. 三角形的外接圆：由于外角平分线与与顶点相对的两边的延长线相交于外心，外心是外接圆的圆心。因此，借助外角平分线的性质，

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