三角形的重心定理及其证明

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三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC中，L、M、N分别是BC、CA、AB的中点.

求证：AL、BM、CN相交于一点G，且 AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

B

N

LDG

图1

A

M

C

证明1（平面几何法）：（如图1）假设中

线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.

现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD 。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点.

另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.

另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证： BG﹕GM=2﹕1， CG﹕GN=2﹕1.

这个点G被叫做ABC的重心.

证明2（向量法）：（如图2）在ABC中，设AB边上的中



1


线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，所以向量BG∥BM，所以，存在实数1 ，使得

B

N

A

M

C

图2

GL

BG1BM，即 AGAB1(AMAB)

所以，AG1AM(11)AB =11AC(11)AB

2

同理，因为C、G、N三点共线，且N是AB的中点. 所以存在实数2，使得 AG2AN(12)AC = 12AB(12)AC

2所以 11AC(11)AB = 12AB(12)AC

22又因为 AB、 AC 不共线，所以 所以 12

1121

2

11

1

22



2 ，所以 11

AGABAC .

333

因为L是BC的中点，所以GLGAACCL

121111=(ABAC)ACCB =ABAC(ABAC)

332332

11

=ABAC，即AG2GL，所以A、G、L三点共线.66

故AL、BM、CN相交于一点G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1



2


证明3（向量法）（如图3）在ABC中，

1

BC的中点L对应于OL(OBOC)，

2



N

B

A

G(G')L

M M

C

中线AL上的任意一点G，有

OGOA(1)OL



图3

OA1OB1

OC.同理，ABo

22

的中线

CN上的任意点G′，OGOC

12OA1

2

OB， 求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使

OGOG.因此，我们令

112，2112，

2

.解之得1

.所以OGOG1OA1OB13333

OC.由对称性可知，第三条中线也经过点G . 故AL、CN、BM相交于一点G，且易证AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

3

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