2020年全国初中数学竞赛试题及答案

2022-03-21 05:42:19   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35. 以下每道小题均给出了代号为ABCD的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数ab 满足,则等于(

A)-1 B0 C1 D2

【答】C 解:由题设知a3,所以,题设的等式为,于是,从而=1

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OAaOBOCOD1,则a等于(

【答】A 解:因为△BOC ABC,所以,即,所以, 由,解得.

3.将一枚六个面编号分别为123456的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于xy的方程组 只有正数解的概率为(

A B C D

【答】D.解:当时,方程组无解.当时,方程组的解为

由已知,得即或 由,的实际意义为123456,可得 共有 5×210种情况;或共3种情况.

又掷两次骰子出现的基本事件共6×636种情况,故所求的概率为. 4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,ABDC. 动点P从点

B出发,沿梯形的边由BCDA运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( A10 B16 C18 D32

【答】B

解:根据图像可得BC4CD5DA5,进而求得AB8,故SABC=×8×416. 5.关于xy的方程的整数解(xy)的组数为(

A2 B3 C4 D)无穷多组 【答】C.解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为.

由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.由 ≥,解得 ≤.于是 0 1 4 9 16 116 109 88 53 4


显然,只有时,是完全平方数,符合要求. 当时,原方程为,此时;

y=-4时,原方程为,此时 以,原方程的整数解为

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分) 6一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km 【答】3750

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km

磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程, 两式相加,得

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AFEF 由题设知,,在△FHA和△EFA中, 所以RtFHARtEFA. 而,所 . 8已知是满足条件的五个不同的整数,若是关于x的方程的整数根,则的值为 【答】 10 解:因为,

且是五个不同的整数,所有也是五个不同的整数.又因为,所以 由,可得.

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为的平分线.若AC15BC20CD12,则CE的长等 且.EFBC垂足为FEFx由,CFx于是BF20x由于EFAC所以 即,

解得.所以.

【答】 解:设报3的人心里想的数是,则报5的人心里想的数应是.

于是报7的人心里想的数是,报9的人心里想的数是,报1的人心里想的数是,报3的人心里想的数是.所以,解得.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分) 11.已知抛物线与动直线有公共点,,且 .

1)求实数t的取值范围;2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值. 解:1.联立与,消去y得二次方程 有实数根,,则.所以

==. ②………………5

把②式代入方程①得. ③………………10 t的取值应满足≥0 且使方程③有实数根,即=≥0,⑤

解不等式④得 -3或≥1,解不等式⑤得≤≤.


所以,t的取值范围为≤≤. ………………15 (2) 由②式知.

由于在≤≤时是递增的,所以,当时, . ………………20

12.已知正整数满足,且,求满足条件的所有可能的正整数的和. 解:由可得.

且. ………………5

因为是奇数,所以等价于,又因为,所以等价于.因此有,于是可得.………………15 又,所以.因此,满足条件的所有可能的正整数的和为1119212+…+10)=10571 ………………20

证明:连接ADBC,因为四边形是平行四边形,所以. ,因此有≌(SAS,于是可得

………………10

又因为与⊙相切于点,所以.结合,可得

于是四点共圆.因此点在⊙上,从而有.……………20 14n个正整数满足如下条件:

且中任意n1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值. 解:设中去掉后剩下的n1个数的算术平均数为正整数,.即. 于是,对于任意的1≤≤n,都有,

从而 ………………5 由于是正整数,故. ………………10 ≥,

所以,≤2008,于是n 45. 结合,所以,n 9 ……15 另一方面,令,…,

,则这9个数满足题设要求.综上所述,n的最大值为9. ………20


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