2017第58届国际奥林匹克数学竞赛(IMO)

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2017第58届国际奥林匹克数学竞赛（IMO）



（第58届国际奥林匹克数学竞赛（IMO）于2017年7月18日在巴西举行） 【1】对于每个整数a0＞1，定义数列a0,a1,a2,…如下：对于任意的n≥0，



试求满足下述条件的所有a0：存在一个数A，使得对无穷多个n，有an=A.

【解析】显然，若A不是整数，则



也不可能为整数，设ak=A，则ak+1=A+3，ak+2=A+3×2，…，ak+n=A+3n，∴ak＜ak+1＜ak+2=＜…＜ak+1＜…，故从ak开始，an为递增数列，不可能存在一个常数A，使得有无穷多个an=A。所以A必然是整数。

同时，我们还注意到，如果一个非完全平方数的正整数A是数列中的某一项，且存在正整数m和b，使得：A+3m=b2（其中b≤A），这样原数列就能形成循环，保证an不是递增数列。因为被3除余2的整数不可能是完全平方数，所以A必须是3的倍数或被3除余1，即A=3p或A=3p+1（其中p为正整数）。



所以后面的an都是3m+2的形式，不可能是一个完全平方数；当A=7时，7+3×3=16=24，又导致后面的an都是3m+2的形式，不可能是一个完全平方数；当A=10时，10+3×5=25=52，所以后面的an都是3m+5=3（m+1）+2的形式，不可能是一个完全平方数…，一般来讲，对于A=3K+1，必定存在一个正整数q和r，使得：



这样经过有限次开方以后，后面的an都是3m+2的形式，不可能是一个完全平方数，所以A不能是3p+1（其中p为正整数）。

故只有当A=3p时，（其中p为正整数），an才可能形成循环。当p=1时，形成的数列（部分项）：…，3，6，9，3，6，9，…；当p=2时，形成的数列（部分项）：…，6，9，3，6，9，3，…；当p=3时，形成的数列（部分项）：…，9，3，6，9，3，6，…；当p=4时，形成的数列（部分项）：…，12，15，18，…，36，6，9，3，6，9, 3，…；

当p=5时，形成的数列（部分项）：…，15，18，…，36，6，9，3，6，9, 3，… 通过观察，数字3,6,9形成无穷循环，所以当



存在A（A=3，或6，或9）使得对无穷多个n，有an=A.


（第58届国际奥林匹克数学竞赛（IMO）于2017年7月18日在巴西举行）

【2】设R是全体实数构成的集合。求所有的函数f：R to R，使得对于任意实数x和y，都有

f (f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)。

【解析】令x=y=0，则：f(f2(0))=0；

令y=0，则：f(f(x)f(0))+f(x)=f(0)；f(0)是个常数，设f(0)=a，有： f(af(x))+f(x)=a，即：f(af(x))=a-f(x)

(1)如果a=0，则f(0)=a-f(x)，即f(x)≡0； （2）如果a≠0，则：



设af(x)=t，则：



于是：



所以有：



化简，得： (a2﹣1)xy≡0 ∴a2=1，a=±1

∴f(x)= 1﹣x，或 f(x)= ﹣1+x

综上所述，所求函数f(x)为：f(x)=0；或f(x)= 1﹣x；或 f(x)= ﹣1+x

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