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专题 完全平方公式、平方差公式的几何背景
【例7】(2012•遵义)如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是( C )
A.2cm B2acm C.4acm D.(a-1)cm
分析:先求出正方形的边长,继而得出面积,然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案.
解答:解:由题意可得,正方形的边长为(m+n),
2
故正方形的面积为(m+n),
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又∵原矩形的面积为4mn,∴中间空的部分的面积=(m+n)-4mn=(m-n). 故选C.
【例8】(2012•白银)如图,边长为(m+3)的正方形纸片,剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是( )
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A.m+3 B.m+6 C.2m+3 D.2m+6
分析:由于边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),那么根据正方形的面积公式,可以求出剩余部分的面积,而矩形一边长为3,利用矩形的面积公式即可求出另一边长.
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解答:解:依题意得剩余部分为(m+3)-m=m+6m+9-m=6m+9, 而拼成的矩形一边长为3,∴另一边长是
6m9
=2m+3.故选C. 3
【变式训练】
15.(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( C )
A.2mn B.(m+n) C.(m-n) D.m-n
16.如图所示,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为( C )
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A.(a-b)=a-2ab+b B.(a+b)=a+2ab+b
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C.a-b=(a+b)(a-b) D.a+ab=a(a+b)
17.图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①
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和图②能验证的式子是( B )
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A.(m+n)-(m-n)=4mn
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B.(m+n)-(m+n)=2mn
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C.(m-n)+2mn=m+n
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D.(m+n)(m-n)=m-n
18.(2012广东佛山)如图,边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形,若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为 2m+4 .
19.如图,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,若将图1的阴影部分拼成一个
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长方形,如图2,比较图1和图2的阴影部分的面积,你能得到的公式是 a-b=(a+b)(a-b).
20.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两
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数和的平方公式:(a+b)=a+2ab+b.你根据图乙能得到的数学公式是 (a-b)222 =a-2ab+b.
21.阅读材料并回答问题: 我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也
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可以用这种形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a+3ab+b,就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示.
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