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分数的简便运算
进行分数简便运算时,运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算;也可在分数值不变的情况下,将分数分拆,使运算简便。 一、 知识回顾
1、 分数和基本性质:分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。 2、常用运算定律
加法交换律:a+b=b+a
加法结合律:a+b+c= (a+b)+c a+ (b+c)= (a+c)+b 乘法交换律:ab=ba
乘法结合律:abc= (ab)c=a(bc)= (ac)b
乘法分配律:a(b+c)=ab+ac ab+ac= a(b+c) 减法的运算性质:a-b-c=a- (b+c)
除法的运算性质:a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c)= a÷b÷c= a÷c÷b
a÷b×c=a÷(b÷c) a÷(b÷c)= a÷b×c
3、 单位分数:分子是1,分母是非零的自然数的真分数。运算时把分数拆分成单位分数.
例题:
11111111=1- =- =- 1X222X3233X434
11235+==(分子是1的两个分数相加,和的分子是两分母之和,和的分母是两分232X36母的乘积)
二、 常见运算方法
1、 凑整法: 在整数简单运算中,是把数字凑成整十、整百、整千等整数。而在小分和分数运算中,是把数字凑成整数,便于计算。
2311
例题:3+6+1+8
34433211
=(3+1)+(6+8)
4343
=5+15 =20
2、 改顺序: 通过改变分数式中的先后顺序,使运算算简便。常见有以下几种方法: (1)加括号性质:在一个只有加减法运算的算式中,给算式的一部分添上括号,如果括号前面是加号,那么括号里面的运算符号都不改变;如果括号前面是减号,那么括号里面的运算符号都要改变,即加号变减号,减号变加号。用字母表示:
a+b-c=a+(b-c) a-b+c=a-(b-c) a—b—c=a—(b+c)
867
例题:2-1-
171313867
=2-(1+)
171313
8
-2 178
=
17
(2)去括号性质:在一个有括号的加减法运算的算式中,将算式中的括号去掉,如果括号前面是加号,那么去掉括号后,括号里面的运算符号都不改变;如果括号前面是减号,那么括号里面的运算符号都要改变,即加号变减号,减号变加号。用字母表示:
a+(b-c)=a+b—c a-(b+c)=a—b-c a—(b—c)=a-b+c
165
例题:3-(4-1)
779
165
=3+1-4
7795
=5-4
94
=
9
(3)分数搬家: 在连减或加减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时,可以带着符号“搬家”,用“字母"表示: a-b—c=a—c-b a-b+c=a+c—b
2521
例题:2+3-1+1
76762251
=(2-1)+(3+1)
7766
=1+5 =6
(4)提取公因数:当几个乘积相加减,而这些乘积中又有相同的因数时,我们可以采用提取公因数的方法进行巧算。如果乘积中另外几个因数相加减的结果正好凑成整十、整百、整千、整万的数,或是是一些比较简单的数,那么计算就更为简便。这种方法叫“提取公因数法"。
例1:简单提取法 例2:混合提取法:
111123325
×1-2×+×1 ×1+0.6×1-2×60%
336355577
112332353
=×(1-2+1) =×1+×1-2×
63555757511325
=×(3-2) =×(1+1-2)
63577
113
=×1 =×(3-2)
635
135 = =×
356
1
=
2
3、拆数法(分解分组法)
一组分数混合运算时,为了能够“凑整"或凑成比较简单的数,常常需要先把分数中分子或分母进行拆分,再来进行分组运算。这种巧算方法叫“拆分法",也叫“分解分组法”。
=2
1111+++…… 1X22X33X499X100
1111111
=1-+-+-+……+-
22334991001
=1-
100
例1:
=
99 10088
×126 125
例2:
=
88
×(125+1) 125
8888×125+ 12512588
125
=
=88+
=88
88 125
4、 代数法:在相同数字较多的分数式中,用字母表示式子中的一部分,使运算更加方便。这就是分数式中的代数法。
11111111111111
例:(1+++)×(+++)-(1++++)×(++)
23423452345234111
解:设(++)为A。
234
11
原式=(1+A)×(A+)-(1+A+)×A
55
111
= A++ A2+A-A-A2-A
5551 =
5
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