数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)

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求数列{a

n

}的前n项和的方法

（1）倒序相加法

（2）公式法

此种方法主要针对类似等差数列中

此种方法是针对于有公式可套的数列，如ana1an1a2

,具有这样特点的

等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找数列．

出对应的公式．

例：等差数列求和

公式：

a1(a1d)[a1(n1)d]①

①等差数列： 把项的次序反过来，则：

②等比数列：

n

Snan(and)

[an(n1)d]② Sa1(1q)n

1qa1anq

1q

；(q1)

①+②得：

③1+2+3+……+n=

n(n1)

2

； （3）错位相减法

（4）分组化归法

此种方法主要用于数列{anbn}的求和，此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分其中{an}为等差数列，{bn}是公比为q的别进行求和，再综合求出所有项的和．

等比数列，只需用SnqSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．

例：试化简下列和式：

例：求数列1，1

111

2，124

，……， 解：①若x=1，则S=1+2+3+…+n=n(n1)

n2



11214+……+1

2n1的和.

②若x≠1,则S2

n12x3x

nxn1

11两式相减得：

解：∵an12

14

2

n1 (1x)Sn1xx2+…+xn1nxn

∴S11n1(12)(1

214

)

∴S1xnnxn

n(1x)2

1x

（5）奇偶求和法

（6）裂项相消法

此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑此方法主要针对

符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，

1aa1



112a2a3

a这样的求和，其中

n1an

最后进行综合．

{an}是等差数列．

例：求和

例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求

解：当n=2k(kN+)时, S11n

aa1a

1

12a2a33a4

an1an

当n2k1(kN)时，

解：

综合得：Sn1

n(1)n

∵

111akdaaa(ak

kk1akkd)dak(akd)

∴S1n

d(1a1)1(11) 1a2da2a3

(7)分类讨论

（8）归纳—猜想—证明 此方法是针对数列{an}的其中几项符号此种方法是针对无法求出通项或无法根

与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问

据通项求出各项之和的数列，先用不完全题，主要是要分段求.

归纳法猜出Sn的表达式，然后用数学归纳法证明之.

例：已知等比数列{a1

例：求和S222n=1+3+5+…+(2n1)2

n}中，a1=64，q=2

，

解：S11，S210，S335，

设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.

S484，S5165，…

解：an=a1

qn1=27n


∴bn=log2an=7n （1）当n≤7时，bn≥0

观察得：Sn=n(4n1)（待定系数法）

1

3

2

此时，Sn=－

1213n+n 22

证明：（1）当n=1时，∴n=1时成立.

1

n(4n21)=1=S1 3

（2）当n＞7时，bn<0

此时，Sn=

（2）假设当n=k时，Sk=

1

k(4k21) 3

1213

n－n+42（n≥8） 则n=k+1时， 22

Sk1=Sk+(2k1)2

1213

n+n（n≤7） －

12222

=k(4k1)+(2k1) 3

=

∴Sn=

1213

n－n+42（n≥8） 22

k1

(2k3)(2k1) 3

=

k1

[2(k1)1][2(k1)1] 3

*

n=k+1时，成立.

由（1）、（2）知，对一切n∈N，

1

Sn=n(4n21).

3

本文来源：https://www.wddqxz.cn/3a1eb853f9d6195f312b3169a45177232e60e469.html