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《三垂线定理及其逆定理》教案
知识目标：
1、掌握三垂线定理及其逆定理；
2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力。 3、正确运用这两个定理分析和解决实际问题。 教学重点、难点：
重点：1、三垂线的分析和证明；2、三垂线定理及其逆定理的应用。 难点：正确运用这两个定理并建立空间三线垂直的模型。 教学过程：
一、回顾与思考：
1、回顾直线与平面垂直的相关性质； 2、阅读课本，找出射影、斜线段等概念；
3、平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？ （用演示大木三角板在桌面上随意摆放一下，引起学生思考）
（还可以引入日常生活中用铡刀铡草的例子， 用铡刀铡草怎样才能保证草料与铡刀的刀刃垂直呢？ 当且仅当草料与刀座垂直就行。）
二、新课讲授：
1、由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO⊥a，问PA与a所成的角； 显然PO⊥α POa
a OAa a平面POA PAa POOA=O PA平面POA 即：PA与a所成的角为900 由此可以得到：
P
O
A
三垂线定理：在平面内的一条直线，
如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直。
α
a
（说明：三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO， 才是抓住了定理的实质与关键）
2、让学生说出三垂线定理的逆命题，并说明其真假，如果是真命题，能否证明这个命题。
PO⊥α POa
a PAa a平面POA OAa POPA=P OA平面POA 由此可以得到：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。
说明：⑴、三垂线定理及其逆定理所描述的“三线”为：斜线（PA）、射影线（OA）和直线a之间的垂直关系。
⑵、如果把PA、OA、a之间的垂直关系作整体思考，三垂线定理及其逆定理的“一致性” 描述就是斜线及射影同垂直于射影面内的直线。
⑶、三垂线定理及其逆定理的应用，关键在于找出平面的垂线，至于射影是由垂足和斜足来确
D1 C1
定的，那就处于次要位置。三垂线定理及其逆定理的应用程序为“一垂、二射、三证”，一垂：即找已知平面的垂线；二射：即找斜线在平面内的射影；三证：即证明射影与直线a垂直。
3、例题选讲：
例1、如图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中
B1 A1 ⑴、BD1与AC成 角
⑵、BD1与A1D成 角 ⑶、BD1与A1C1成 角
D ⑷、BD1与B1C成 角 C
⑸、BD1与DC1成 角
B A 例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，
那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
P 已知：∠BAC在平面内，点P，PEAB于点E，
PFAC于点F，PO于点O，PE=PF； 求证：∠BAO=∠CAO B 证：PE=PF OE=OF E PO O A PO OEAB ∠BAO=∠CAO
F C PEAB
PFAC OFAC
（说明：⑴、平面POA称为∠BAC的平分面，这个面上的每一个点到∠BAC的两边相等； ⑵、本例可以作为一个结论，在解选择题与填空题时用。）
C 变式训练（例题预案）
从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条射线的夹角为600，求直线PC和平面APB所成的角
Q 2
的余弦值。（）
3
B F
4、课堂练习：
D P 课本P27 1、2、3
（教师巡视课堂，让学生回答问题，发现问题及时纠正。） E
A 5、课堂小结：
⑴、本节课是在学习了直线和平面垂直的基础上引入的，它的实质还是直线与平面的垂直； ⑵、三垂线定理及其逆定理是描述斜线（PA）、射影线（OA）和直线a这“三线”之间的垂直关系，同学们下去以后还要结合课本去落实巩固。
⑶、三垂线定理及其逆定理应用的六字诀“一垂、二射、三证”同学们要牢记在心。 6、布置作业：课本P28 4、6
本文来源：https://www.wddqxz.cn/396a533d6337ee06eff9aef8941ea76e59fa4a31.html
2023-01-24
