《等差数列》学案5(苏教版必修5)

2022-04-29 22:30:31 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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第6课时等差数列的前n项和（1）

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学习要求

1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．

2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

【自学评价】

1. 等差数列的前项和：

公式1：公式2：；

2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为等差数列 . 3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:

【精典范例】

【例1】在等差数列｛an｝中，（１）已知，，求；（２）已知，，求．【解】

（１）根据等差数列前ｎ项和公式，得

听课随笔（２）根据等差数列前ｎ项和公式，得

【例2】在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n. 【解】由已知，得由②，得

代入①后化简，得

点评: 在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．

【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．【解】即

解得

思维点拔

数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数) 【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列. (1)Sn＝2n2－n (2)Sn＝2n2－n＋1

【解】 (1)a1＝S1＝1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(2n2－n)－［2(n－1)2－(n－1)］＝2(2n－1)－1＝4n－3 ∵n=1 时也成立， ∴an＝4n－3

an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列 (2)a1＝S1＝2 a2＝S2－S1＝5 a3＝S3－S2＝9 ∵a2－a1≠a3－a2 ∴｛an｝不是等差数列.

点评：已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1，因此an＝.

【追踪训练一】：

1.在等差数列｛an｝中，若S12=8S4,则等于( A ) A. B. C.2 D.

2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为( D ) A.0 B.100 C.1000 D.10000

3.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( A ) A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3 C.它的首项是－3，公差是2 D.它的首项是3，公差是－2

4. 在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___ 5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2 －n+2,则该数列的通项公式为( B ) A.an=8n+5(n∈N*) B.an=

C.an=8n+5(n≥2) D.an=8n－5(n≥1).

【选修延伸】

【例5】设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。【证明】设等差数列的公差为，前项的和为，则。（常数）听课随笔（）。是等差数列。

【例6】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求Sp＋q(其中p≠q). 【解】由已知Sp＝q，Sq＝p得 pa1＋ ①

qa1＋ ② 1 ∴＝(p＋q)＝－(p＋q)

点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或成等差数列去求解.

【追踪训练二】

1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是( C ) A.an=2n－1 B.an=2n+1 C.an=4n－1

D.an=4n+1

2.数列1，，…的前100项的和为( A ) A.13 B.13 C.14

D.14

3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____. 4. 一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和. 【解】

【答案】前项的和为225

听课随笔