第一讲 定义新运算(1)

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定义新运算（一） 例1：规定a☆b=a+b+1,求2☆5和3☆（4☆5） 例2：假设：1※5=1+11+111+1111+11111，2※4=2+22+222+2222，3※2=3+33， 那么6※4应等于什么？2006※2又等于什么？ 例3：因为狼和羊在一起时狼会吃掉羊，所以规定： 狼△狼=狼 羊△羊=羊 狼△羊=狼 羊△狼=狼 这个运算的意思是：狼与狼在一起是还是狼；羊与羊在一起时还是羊；狼与羊在一起时，狼吃掉了羊，就只剩下狼了。 因为善良的小朋友总希望羊能战胜狼，所以又规定： 狼■狼=狼 羊■羊=羊 狼■羊=羊 羊■狼=羊 这个运算的意思是：狼与狼在一起是还是狼；羊与羊在一起时还是羊；狼与羊在一起时，羊会赶走狼，就只剩下羊了。 现在，请聪明的你算一算下面的式子，看看最后是狼吃掉了羊，还是羊赶走了狼？ 羊■（狼△狼）△羊■（狼△羊） 例4 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 根据以上的规定，求10△6的值。 例5、规定a▽b=a＋b－1，a□b=a×b－1，计算5▽（4□3） 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2ׄ ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+„+100！的个位数字是几？ 例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。 求3¤（4¤6）¤12的值。 例8 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。 例9 定义运算：a⊙b= 3a +5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。 （1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？ （2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”

符合交换律？ 例10 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。 比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值； （2）已知6☆x=27，求x的值。 例11. a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转

90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。 分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。 例12 对任意的数a，b，定义：f（a）= 2a +1， g（b）=b×b。 （1）求f（5）-g（3）的值； （2）求f（g（2））+g（f（2））的值； （3）已知f（x+1）=21，求x的值。 习题1： 1．规定：a※b = （b＋a）×b，那么：（2※3）※5得多少？ 2 ．规定： a⊙b = a/b－b/a，则：2⊙（5⊙3）得多少？ 3．规定：a※b = （a＋2b）/3，若6※x = 22/3，则x是多少？ 4．如果a△b表示（a－2）×b，例如3△4 = （3－2）×4 = 4，当a△5 = 30时，那么a是多少？ 5．已知a，b是任意有理数，我们规定：a⊙b = a＋b－1，a⊙b = ab－2，那么4⊙【（6⊙8）（3⊙5）】是多少？ 6．如果a⊙b表示3a―2b，例如4⊙5 = 3×4―2×5 = 2，当x ⊙5比5 ⊙x大5时，那么x 是多少？ 7．A、b均为自然数，且a⊙b = a＋2a＋3a＋„„＋ab，若x⊙10 = 110，那么x 是多少？

8．规定新运算※：a※b = 3a－2b，若x※（4※1）= 7，则x 是多少？ 9．对余数a、b、c、d规定＜a，b，c，d＞=2ab－c＋d，如果＜1，3，5，x＞7，那么x是多少？






10．规定：6※2 = 6＋66 = 72，2※3 = 2＋22＋222 = 246，1※4 = 1＋11＋111＋1111 = 1234，那么：7※5是多少？ 习题2：

1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。

*2 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。根据上面定义的运算， 18△12等于几？

3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a※b。例如，13※5=3。根据这样定义的运算，(26※9) ※4等于几？

4 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“▽”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3▽5=3。请计算：[(70▽3)△5]×[ 5▽(3△7)]。 5 对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。

6 规定： 6* 2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。

*7 如果用φ(a)表示 a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？ 8 如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？

9 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a＋2)„(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？

10 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A•B，输入1后，经过A•B，输出3。(1)输入9，经过A•B•C•D，输出几？(2)经过B•D•A•C，输出的是100，输入的是几？(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

11、若a※b=4×b＋a÷5，求20※12。

12、规定x△y=（x÷y）×3，那么24△4的值是多少？ 13、规定a⊙b=（a－b）÷3，试求7⊙（8⊙5）的结果。

14、若a、b表示两个数，规定a⊙b表示a的4倍减去b的3倍，求7⊙（3⊙2）。

15、规定a▽b=a＋b－1，a□b=a×b－1，计算5▽（4□3）。

16、如果2？3=2＋3＋4，5？4=5＋6＋7＋8，那么请计算7？5的结果。 17、若a▽b=2×a＋3×b，其中a，b表示两个自然数，那么（2▽3）▽4等于多少？

18、若规定a△b=a×a＋b×b，a▽b= a×a－b×b，那么（2△3）▽4等于多少？ 19、如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。求3¤（4¤6）¤12的值。 习题3：

1.规定a☉b = ,则2☉(5☉3)之值为 .

2.规定“※”为一种运算,对任意两数a,b,有a※b ,若6※x ,则x= 3.设a,b,c,d是自然数,定义 .则 3, 4, 1, 2 .

4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: = .

5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .

6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= . 7.对于数a,b,c,d规定 .如果 , 那么x= .

8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .

9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .

10.假设式子 表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子 表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算 , , , ,则计算结束时,a与b的和是 .

如果3*2=3+33=36；2*3=2+22+222=246；1*4=1+11+111+1111=1234.那么4*5等于多少？

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