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例谈绝对值与最值
山西 耿京娟
对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用.
一．利用几何方法求最值
例1 已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值.
分析 此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.
解 设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；
图1
当C点在A点左边时（如C1处）， AC-BC=-AB=-3；
当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3. 综上所述,y的最大值为3,最小值为-3. 例2 已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.
图2
解 设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时， y=AC+BC=AB=1,
综上所述y≥1,y的最小值为1.
通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:
如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|. 如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.
并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.
二．利用界点分段法求最值
例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值
分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，
x1，1x2，2x3，x3，然后分段讨论。∣
解：这里有三个分界点：1、2、3
当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３
当１＜ｘ≦２时，原式＝x－１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２
当２＜ｘ≦３时，原式＝x－１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ 这时ｘ没有最小值 当ｘ＞３时，原式＝x－１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ 这时ｘ没有最小值 综合以上几种情况，原式的最小值是2。
说明：形如|x-a1|+|x-a2|+……+|x-an|n个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当n为奇数时取中间分界点x取值能取得最小值，当n为偶数时取中间两个分界点x的取值或中间两个分界点之间的任意实数，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。因为有奇数个分界点，所以当x取中间界点-3时有最小值6，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值，因为
有偶数个分界点，所以3x2时有最小值4。
例4 已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求y的最大值。
分析：首先，对式子|2x+6|－4|x+1|＋|x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中y的最大值，再加以比较可得。
解：找分界点，得x=－3，－1，1
当x3时，y(2x6)4(x1)(1x)x1
∵x≦－3 ∴ｘ－１≦－４
∴ｘ≦－３时，ｙ的最小值为－４
当3x1时，y(2x6)4(x1)(1x)5x11
3x1
45x116
∴ｙ的最大值为６
当1x1时，y(2x6)4(x1)(1x)33x
∵－１＜ｘ≦１ ∴－１≦－ｘ＜１ ∴０≦３－３ｘ＜６这时没有最大值
当ｘ>1时,y=(２ｘ＋６)－４（ｘ＋１）＋（ｘ－１）＝１－ｘ ∵ｘ>1 ∴1－ｘ＜０ ∴当ｘ>1时，ｙ没有最大值 综上所述：y的最大值是6
课堂练习 1.已知y=|x+5|-|x-1|,求y的最大值,最小值.(答:最大值6,最小值
-6)
2.已知y=|x-2|+|x-6|,求y的最小值.(答:8)
本文来源：https://www.wddqxz.cn/34856eb00f22590102020740be1e650e52eacfa8.html
2023-12-22
