正弦定理教学案例

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正弦定理教学案例



一、教学设计 1、教材分析

“正弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之五，既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本次课是“正弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

为什么叫解斜三角形？解斜三角形必须要用正弦定理和余弦定理吗？正弦定理和余弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

2、设计思路

为了回答上述问题我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，笔者具体做出了如下设计：①创设一俱现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性7问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生使用计算器对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点AC＋CB＝AB；二是如何将向量关系转化成数量关系，同时将三个项的关系式转化为只有两个项的关系式，以揭示引入单位向量j和使用向量的数量积运算的合理性。④由学生独立使用已证明的结论去解决②中所提出的问题。

二、教学过程 1、设置情境

利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d＝1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的

重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处 或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度 ｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。 2、提出问题

师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选了几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

⑴船应开往B处还是C处？

⑵船从A开到B、C分别需要多少时间？

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⑶船从A到B、C的距离分别是多少？

⑷船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

⑸船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？ 师：大家讲座一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题⑴，需要解决问题⑵，要解决问题⑵，需要先解决问题⑶和⑷，问题用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题⑷，问题⑷与问题⑸是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题⑷和⑸。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1：般从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河

水中的速度大小｜v｜及v 1与v 2的夹角θ：

＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，还需求 及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。



师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。 师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

生3：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这四个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。

生4：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这四个元素的数量关系，则第三边也可求出。

生5：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这四个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。

师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

3、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：如图4，请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这四个元素间有什么关系？ 多数小组很快得出结论：

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众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组合 因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生6：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生7：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。 师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形同一边上的高不变；③三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这3种关系作为基础得出了如下三种证法：

证法一：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD＝b·sin∠BCA， BE＝c·sin∠CAB， CF＝a·sin∠ABC。

所以S△ABC＝a·b·csin∠BCA ＝b·c·sin∠CAB

＝c·a·sin∠ABC.

证法二：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD＝b·sin∠BCA＝c·sin∠ABC， BE＝a·sin∠BCA＝c·sin∠CAB。



证法三：如图6，设CD＝2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ADC。

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师：据我所知，从AC＋CB＝AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。 生8：要想办法将向量关系转化成数量关系。

生9：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。 生10：还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生11：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量（如向量AC）垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。

师：请大家具体试一下，看还有什么问题？

众学生：向量j与AB、CB的夹角与△ABC是锐角三角形还是钝角三角形有关，所以应分两类情况分别证明。

教师让学生通过小组代表作完成了如下证明。 语法四：如图7，设单位向量j与向量AC垂直。 因为 AB＝AC＋CB， 所以 j·AB＝j·（AC＋CB）＝j·AC＋j·CB. 因为 j·AC＝0，

j·CB＝| j ||CB|cos（90°－∠C）＝a·sinC，

j·AB＝| j ||AB|cos（90°－∠A）＝c·sinA .



4、反思应用

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家考虑一下，正弦定理能够解决哪些问题？

众生：知三求一，即已知三角形的两边与一边的对角，可求另一边的对角；已知三角形的两角与一角的对边，可求另一角的对边；已知三角形中两边与它们的对角四个元素中的两个元素，可研究另外两个元素的关系。

师：请同学们用正弦定理解决本节课开始时大家提出的问题。 三、教学反思

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境——问题”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

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从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章第十二节研究性课题的第二个问题，笔者将其加工成一个具有实际意义的决策型问题。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。在进行教学设计时，笔者曾考虑以“直角三角形”作为情境，考虑到学生据此不易形成目标问题，而且问题缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解决问题，故未采用这个方案。

“情境——问题”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。要引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问绰向深入。

本课中，在教师的启导下，学生首先提出的问题是：船应开往B处还是C处？答案取决于船从A到达B、C的时间；船从A到达B、C的时间，又取决于船从A到达B、C的距离和船的速度的大小；而船能否到达B、C，又取决于船的航向。这些都是具有实际意义的问题，去掉问题的实际意义得出过渡性数学问题，抓住过渡性问题的数学实质，将其上升为一般性数学问题，即目标问题。学生还提出了一个超前性问题：三角形中三条边与一个角之间有什么关系？这是笔者在设计教案时未想到的，笔者除了对提出此问题的学生给予表扬和肯定外，还要求同学们课后认真研究这个问题，这个问题已经自然地成为教学“余弦定理”的情境。

使用计算器处理复杂、烦琐的数字运算是新教材的一个重要特点。本课中通过使用计算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验成为可能。这说明计算器在探索、检验规律方面也能发挥重要作用。在启导学生证明正弦定理时，笔者没有限制学生的思路，使学生通过自己的努力发现了多种证法，其中每一种证法都比教材上给出的证法要简单。但没有能够自然地启发、引导学生发现和选择向量方法，是一个遗憾。



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