算术平方根的双重非负性

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算术平方根的双重非负性

算术平方根的定义：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00.

算术平方根定义中的两层含义：

a中的a是一个非负数，即a0，a的算术平方根a也是一个非负数，

即a0．这就是算术平方根的双重非负性．



例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即

a0，a≥0，

2

由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

解：∵x10,y20， 且x－1＋3(y－2)2＝0

∴x-1=0，y-2=0. ∴x=1,y=2

∴x－y＝1－2＝－1.

方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即

a0，|a|≥0，a≥0， 当几个非负数的和为0时，各数均为0.

2

2

巩固练习：

1. 若|x－2|+y3=0,则xy=______.

2. 已知x1y22

2

z

3

0，求x+y+z的值. 2


3. △ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足a1b24b40，求c的取值范

围．

参考答案： 1. xy=6 2. 解：因为x

131322

≥0，y2≥0，z≥0，且xy2z0 ，

2222132

=0，y2=0，z=0， 22

所以x解得x

13，y2，z， 22

所以x+y+z= 3．

2

3. 解：由a1b24b40，可得a1(b2)0，

2

因为 a1≥0，(b2)≥0，

2

所以a1=0，(b2)=0，

所以a = 1，b = 2，

由三角形三边关系定理有：b- a < c < b+a ，即1 < c < 3．

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