两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

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：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例

知识要点：

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2：sin2α＝ ； T2：tan2α＝ ；

()()，2()()



， 2

2222

，

2()()

，





βαππ12

α－＝－，sin－β＝，其中α∈，π，β∈0，，求cos(α＋β)． 例2 设cos223229



变式2：已知0

C2：cos2α＝ ＝ ＝ ；

3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为:

tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：

1、已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝( )

π3π33π5

π,cos(),sin(),求sin(α+β)的值. 4445413

777

C、 D、-

111313π7π4

α－＋ sinα＝3，则 sinα＋的值是( ) 2、已知cos665

A、 B、-

711

232344A．－ B. C．－ D.

5555

45

3、在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC的值是( )

513

1656165616A. B. C.或 D．－ 65656565654、若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ的值等于( )

A．0 B．±3 C．0或3 D．0或±3

2cos55°－3sin5°

5、三角式值为( )

cos5°

3

A. B.3 C．2 D．1 2

题型训练

题型1 给角求值

一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(13tan10)]•2sin280的值.



题型3给值求角

已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。

11

例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

27



变式3：已知tanα=

11

，tanβ= ，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值. 73





题型4辅助角公式的应用

asinxbcosxa2b2sinx (其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由

b

确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a

52

例4求函数f(x)5sinxcosx53cosx3(xR)的单调递增区间？

2tan



变式4（1）如果fxsinx2cos(x)是奇函数，则tan= ；

（2）若方程sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是___________. 题型5公式变形使用

二倍角公式的升幂降幂

2cos10sin20

. 变式1：化简求值：

cos20

题型2给值求值

三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如

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tantan

tantantan1tantan tantan1

tan()

例5（1）设ABC中，tanAtanB33tanAtanB，sinAcosA三角形

（2）化简1-sin822cos8

变式5已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝ ； 专题自测

1、下列各式中，值为

11、(1tan22)(1tan23)=

12、tan10tan203(tan10tan20)=



3

，则此三角形是____4

13、（福建理17）在△ABC中，tanA（Ⅰ）求角C的大小；

13

，tanB． 45

（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．



14、（四川理17）已知cos(1)求tan2的值. （2）求.



15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为 (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值.

1

的是 （ ） 2

113

,cos(),且0<<<,

2714

A、sin15cos15 B、cos2



12

sin2



12

C、

tan22.51cos30

D、

1tan222.52

2、命题P：命题Q：则P是Q的 （ ） tan(AB)0，tanAtanB0，

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

3

,tan0则tan()= . 54

312

4、64sin20 22

sin20cos20

2

5、sin(x)2sin(x)3cos(x)=______________.

333

3、已知sin

6、cos(x27)cos(18x)sin(18x)sin(x27)=

0

0

0

0

225

,. 105

7、若sin

25310

,sin,,都为锐角,则= 510

2

8、在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x＋8x－1＝0的两个根，则tanC等于 9、

13= ；

sin10sin80

2cos10sin20

=

sin70

10、

256

3： 4（1）－2 （2）[－2,2] 5、

2654

23

专题自测：1、C 2、C 3、7 4、32 5、0 6、 7、 8、2 9、4 10、3

24

答案：考点自测:1-5BCADD 变式1、3 2、

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