基本不等式的几点注意

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基本不等式的“十”注意



基本不等式是高中数学的重要内容之一，是培养学生逻辑推理能力的好手段.基本不等式作为函数的核心组成部分，在不等式的证明、求最值、求解参数问题等方面都有广泛的应用，主要以工具知识的出现.但要想灵活应用基本不等式解题，在学习中特别要注意以下几点.

一、注意考纲要求

利用均值定理求最值，考纲对均值定理要求是掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均的定理，并会简单的应用.高考中常与函数、三角、数列、解析几何、立体几何、应用问题等知识联系.

二、注意基本不等式的结构特征 均值不等式的主要两种形式：

第一种形式：a，b∈R时，a＋b≥2ab＝ab＋ab（当且仅当a＝b时“＝”号成立）； 第二种形式：a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab＝ab＋ab（当且仅当a＝b时“＝”号成立）. 两端的结构、数字具有如下特征：

(1)次数相等；

(2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；

(3)左和右积.

这两个公式的结构完全一致，第二种形式可以将条件放宽为但a≥0，b≥0，因此在非负实数范围之内，两个公式均成立，当要解决的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式.

三、注意从本质上认识基本不等式

基本不等式在本质上体现两种转化：(1)在均值不等式中“当且仅当„„等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口；(2)基本不等式的一端是两个正数的和，一端是两个正数的积，因此利用基本不等式可以达到两数和与积的不等转化.

四、注意把握基本不等式的常见变式

a2＋b2a＋b2a2＋b2a2＋b2

(1)ab≤，ab≤()，对不等式ab≤，还有更一般的表达式：|ab|≤；

2222ab

(2)若a，b同号，则＋≥2（当且仅当a＝b时，取等号）；

ba1

(3)若x＞0，则x＋≥2（当且仅当x＝1时，取等号）.

x五、注意联系等比数列与等差数列

a＋b

由数列知识可知，称为a，b的等差中项，ab称为正数a，b的等比中项，故算术平均数与几何

2平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”.

六、注意利用基本不等式求函数的最值的条件

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数，但必须注意其使用三个条件：(1)项项为正：a＞0，b＞0；(2)和定或积定：a＋b为定值或ab为定值；(3)项项相等：“a＝b”，三个条件缺一不可.少了“项项为正”，就失去了利用均值定理的前提条件；少了“a＋b为定值或ab为定值”，求出的不是一个常数，而是一个变量；少了“项项相等”,求出的最值就失去了基础，成了“空中楼阁”.

七、注意多次利用基本不等式求最值的条件

求解最值问题时，有时需要同时或连续多次使用均值不等式，这时一定要注意几次使用条件必须一致，即每次取得“＝”号的条件一致，否则所求的最值是错误的.

八、注意利用基本不等式求最值时常见凑配技巧

在使用重要不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，

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才可以使用重要不等式常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数、平方、引参、换元、裂项、折幂等.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”.

九、注意利用基本不等式证明不等式的条件

a＋b

利用均值定理≥ab(a＞0，b＞0)证明不等式时，没有利用其求最值的条件强，一般只需满足一

2个条件：“项项为正：a＞0，b＞0”.

十、注意基本不等式的实际应用问题

新课标教材与传统教材最大的区别是，新教材淡化了不等式的证明，加强了不等式与日常生活的联系，如实际生活中的方案选择型、材料切割型、造价最低、利润最大等问题.这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用均值不等式加以解决．



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