解三角形 正弦及余弦定理

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解三角形（正弦定理、余弦定理）

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有 = = =2R．

2、正弦定理的变形公式：①a ，b ，c ； ②sin ，sin ，sinC ； ③a:b:c ；④

abc

 ；

sinsinsinC

3、三角形面积公式：SC = = ．

4、余弦定理：在C中有：a ；b ；c ； 5、余弦定理的推论：cos ；cos ；cosC ； 6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

sin(AB)

2

2

2

 ,cos(BC) ,sin(

AB

) 2

,cos(

BC

) 2



题型1：正、余弦定理

例1．在ABC中，已知A30，B135，a2cm，解三角形；

o

o



题型2：三角形面积

例2．在ABC中，sinAcosA

2

，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的面积。 2



题型3：三角形中的三角恒等变换问题

例3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知bac，且a2－c2=ac－bc，求∠A

2

bsinB

的大小及

c



的值。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状

例4．在ABC中,三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若acosAbcosB,则ABC的形状为 例5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）




例6.若△

ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC （ ）

（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 题型5：三角形解的个数问题

例7. 在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ A．无解



B．一解 C．二解 D．不能确定

）



题型6：三角形中求值问题

例8．ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos个最大值。

题型7：三角形中求值问题

例9.在ABC中,三个内角为A,B,C,且sinBsinCsinA3sinBsinC,求sin(BC)

题型8：三角形中综合问题 例10.已知函数f(x)cos(2x

2

2

2

BC

取得最大值，并求出这2



3

)sin2x.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)设ABC的三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若c

例11.在ABC中,三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,cos (Ⅰ)求cosB的值;(Ⅱ)若a3,b22,求c的值.

例12.在锐角ABC中，BC1,B2A,(Ⅰ)求

1C1

6,cosB,f(),求b.

324

AC3. 

23

AC

的值； (Ⅱ)求AC的取值范围。 cosA

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