高中数学平面向量公式

2023-04-01 14:07:28 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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1、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。向量的数量积的运算律 a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质 a•a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a•b=0。 |a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

2、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律 a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

4、定比分点

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定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 5、三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0。 a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.

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