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分式方程“无解”一定是“增根”吗
在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0),那么这个根叫做原分式方程的增根. 那么分式方程的无解问题一定由增根造成的吗?这需要打一个大大的“?”. 先结合下面这个题目说说:
例1 m为何值时,关于x的方程+=会产生增根? 解:原方程化为+=.
方程两边同时乘(x+2)(x-2)得 2(x+2)+mx=3(x-2),① ∵增根可能为x=2或x=-2, ∴当x=2时,代入①式,m=-4, 当x=-2时,代入①式,m=6.
∴m=-4或m=6时,原方程有可能产生增根.
如果由“例1”就认定“增根问题”一定是“无解问题”,那就可能犯错误了!这不,最近一次考试中,我就遇到了这样的麻烦. 请看,
例2 若关于x的分式方程-1=无解,则求m的值. 初始解法:方程两边都乘x(x-3)得: (2m+x)x-x(x-3)=2(x-3),
即(2m+1)x=-6,②
∵关于x的分式方程-1=无解,
∴增根可能为x=0或x-3=0,即x=0或x=3, 当x=0时,代入②得:(2m+1)×0=-6, 解得:此方程无解;
当x=3时,代入②得:(2m+1)×3=-6, 解得:m=-1.5. 综上,m的值为-1.5.
没想到上面的解答没有得到全分,我很纳闷,老师帮助我们订正时,补充了下面的一种情况:
对于方程②来说,∵当2m+1=0时,此方程无解,∴此时m=-0.5,
结合我原来的“增根考虑”,综上,m的值是-0.5或-1.5. 刘老师点评:由于初中阶段解分式方程时一般都是去分母转化为整式方程,而在转化为整式方程的过程中,潜藏着风险:两边同乘的分母可能为0!所以需要验根,防止出现增根,导致原分式方程无解. 但是,反过来,无解并不一定对应增根,因为整式方程也可能会无解. 小徐同学在上文中通过不同的题例及求解展现了这方面的深刻理解,值得同学们倾听和理解. 往大了说,这里还需对“一一对应”和“单值对应”做出思辨理解,而这种思辨和思想的理解,同学们会在高中阶段的“映射”中再次见到.
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