球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的

R

平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn

n



湖北仙桃二中 刘四云





由相交弦定理得 r12 =

1RR2

·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

r22

2R2R22222

= ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

223R3R23

r32 = ·(2R—) = R2(—2)，

nnnn

…………………

2

nnRnR2n

rn2 = ·(2R— ) = R2 ·（ — 2）

nnnn



R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnn2nnnnnn

R3n22n+兀·（ — 2）

nnn

R3222232222n22n1

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnn

；.


.

R3123n122232n2

=兀·（2×—） 2

nnnR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 n6n2

=兀R3 〔

n112n1n1 —·〕

n6n2

=兀R3

·4n23n16n2



=兀R3 ·（

23+12n1

6n2） 当n趋近于∞时，11

2n = 0，6n2 = 所以V= 兀R3（2

半球 3 + 0 + 0 ）

= 2

兀R33

V4

球体体积 = 3

兀R3。



；.

0，

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