平面向量知识点归纳

2022-10-29 05:09:12   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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平面向量

一.向量有关概念

1向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)如:

2零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的 3单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(

AB共线的单位向量是AB

)

|AB|

4相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;

5平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量ab叫做平行向量,记作:ab规定零向量和任何向量平行 提醒

①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;

平行向量无传递性(因为有0) ④三点

AC共线; ABC共线AB

2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。3)若ab,则ab

6相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-a 下列命题:1)若

ABCD是平行四边形。4ABCD是平行四边形,ABDC5ab,bcacABDC

6)若a//b,b//c,则a//c。其中正确的是_______(答:45

二.向量的表示方法

AB,注意起点在前,终点在后;

2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如abc等;

3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如

任一向量a可表示为a

如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。



j为基底,则平面内的

x,y为向量a的坐标,ax,y叫做向量a的坐标表示。xiyjx,y



三.平面向量的基本定理:如果e1e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有

一对实数12,使a=1e12e2 1a(1,1),b

13

(1,1),c(1,2),则c______(答:ab

22

2下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. C.

e1(0,0),e2(1,2) B. e1(1,2),e2(5,7)

13

e1(3,5),e2(6,10) D. e1(2,3),e2(,)

24

(答:B

3已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,

ADa,BEb,BC可用向量a,b表示为24

_____(答:ab

33









4已知ABC中,点DBC边上,且CD



2DBCDrABsAC,则rs的值是___

(答:0



a

1aa,2>0时,a的方向与a的方向相同,当<0时,a的方向与a的方向相反,





a



0时,a

0注意a0

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五.平面向量的数量积

1两个向量的夹角:对于非零向量ab,作OA

a,OBbAOB

0称为向量ab的夹角,当0时,ab同向,当时,ab反向,当

b垂直。



时,a2

2平面向量的数量积如果两个非零向量ab它们的夹角为我们把数量|a||b|cos叫做ab数量积(或内积或点积),记作:a

b,即ababcos

。规定:零向量与任一向量的数量积是0

意数量积是一个实数,不再是一个向量

1已知a(1,

11

),b(0,),cakb,dabcd的夹角为,则k等于____ 224

(答:1

2已知

a2,b5,ab3,则ab等于____

(答:

23

3已知a,b是两个非零向量,且abab,则aab的夹角为____

(答:30

3ba上的投影|b|cos,它是一个实数,但不一定大于0 已知|4a



a|3|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为______(答:b的几何意义:数量积ab等于a的模|a|ba上的投影的积。



12

5

5向量数量积的性质:设两个非零向量ab,其夹角为,则: a

bab0

bab

特别地,a

2

②当ab同向时,a

aaa,aa





22

ab反向时,ab

ab;③非零向量ab夹角的计算公式:cos





abab

;④|ab||a||b|

1已知a

(,2)b(3,2),如果ab的夹角为锐角,则的取值范围是______

41

(答:0

33





六.向量的运算

1几何运算

①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量

ABa,BCb



AC



a



b



abABBCAC

②向量的减法:用“三角形法则”:设

ABa,ACb,那么abABACCA,由减向量的终点

指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。

1化简:①ABBCCD___;②ABADDC____;③(ABCD)(ACBD)_____

(答:①

2若正方形ABCD的边长为1

AD;②CB;③0

(答:2

ABa,BCb,ACc,则|abc|_____

2





2坐标运算:设a(x1,y1),b(x2,y2),则: 向量的加减法运算ab(x1x2

y1y2)

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