2011年全国初中数学竞赛试题(含答案)

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2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间20113209301130满分150

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为ABCD的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都0分)

1、设x

532

,则代数式x(x1)(x2)(x3)的值为( C

A0 B1 C.-1 D2

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)(c,d)之间的运算为:

(a,b)(c,d)(acbd,adbc)。如果对于任意实数u,v

,都有(u,v)(x,y)(u,v),那么(x,y)

B

A(0,1) B(1,0) C(1,0) D(0,1) 3、已知A,B是两个锐角,且满足sin2Acos2B值的和为( C

A B C1 D

3

3

8

5

113

54t

34

cos2Asin2B

t

2

,则实数t所有可能



4如图,D,E分别在△ABC的边ABAC上,BECD相交于点FSEADFS1SBDFS2SBCFS3SCEFS4,则S1S3S2S4的大小关系为( C

AS1S3S2S4 BS1S3S2S4 CS1S3S2S4 D.不能确定 5、设S

113

123

13

3

12011

3

,则4S的整数部分等于( A

A4 B5 C6 D7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a,b(其中b2011,斜边长是b1的直角三角形的个数为__31__。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是122334;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是134568。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。

91

8如图,双曲线y

2x

(x0)

与矩形OABC的边CBBA分别交于点

32

EFAFBF,连接EF,则△OEF的面积为_____;

9O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为_____。28

10、设四位数abcd满足a3b3c3d3110cd,则这样的四位数的个数为___。5

1 3


三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11已知关于x的一元二次方程x2cxa0的两个整数根恰好比方程x2axb0的两个根都1,求abc的值。

解:设方程x2axb0的两个根为αβ,其中αβ为整数,且αβ

则方程x2cxa0的两个整数根为α1β1 由根与系数关系得:αβa(α1)(β1)a 两式相加得:αβ2α2β10(α2)(β2)3

2123

2321

11

53

解得:



又∵a(αβ)bαβc[(α1)(β1)] a0b1c2a8b15c6 abc3abc29

12如图,H为△ABC的垂心,AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点DADCH于点P,求证:点PCH的中点。 证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q

连结AHBDQCQH

AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ900 BQ为⊙O2的直径 于是CQBCBHHQ

∵点H为△ABC的垂心 AHBCBHAC AHCQACHQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点PCH的中点。

13、若从123n中任取5个两两互素的不同的整数a1a2a3a4a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值。

解:若n49,取整数122325272,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个

整数是素数,∴n48,在123,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数a1a2a3

a4a5

O2

A

O1

H

D P

C

B

Q

a1a2a3a4a5都不是素数,则a1a2a3a4a5中至少有四个数是合数,不妨假设

a1a2a3a4为合数,

a1a2a3a4的最小的素因数分别为p1p2p3p4 由于a1a2a3a4两两互素,∴p1p2p3p4两两不同 pp1p2p3p4中的最大数,则p7

因为a1a2a3a4为合数,所以a1a2a3a4中一定存在一个

ajp27249,与n49矛盾,于是a1a2a3a4a5中一定有一个是素数 综上所述,正整数n的最大值为48

2 3




14、如图,△ABC中,∠BAC60°AB2AC。点P在△ABC内,且PA3PB5PC2,求△ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP

则△ABQ ACP,由于AB2AC,∴相似比为2 于是,AQ2 AP2

3

BQ2CP4

Q

M

A

QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC60° AQAP21知,∠APQ900 于是,PQ

3

AP3

P

BP225BQ 2PQ 2 从而∠BQP900 AMBQM,由∠BQA1200,知 AQM600QM

2

2

2

3

AM3,于是,

3

ABBMAM (4SABCABACsin600

21

)3288

3

22

B

3

C



8

AB 2

673

2





3 3


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