(完整版)三角形四心及其性质总结

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三角形四心

一、 重心：三条边的中线交于一点

性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均， 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。





二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。该三角形外接圆的圆心，

性质：

1、外心到三角形三个顶点的距离相等

2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。





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三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。





四、内心：三条内角平分线交于一点。即三角形内切圆的圆心。

性质：

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。





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