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专题六 等差数列
专题精析
1.数列中的第一项称为首项,最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始,后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
4.例如:1、3、5、7、9、…、97、99,这是一个首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差数列。
基础提炼
【例题1】 在数列7、10、13、16、…中,第907个数是多少?907是第几个数? 【思路导航】
步骤一:这个等差数列的首项是7,公差是10-7=3。 步骤二:第907个数比首项多了906个公差。
所以,第907个数是7+(907-1)×3=2725 步骤三:看907比首项7多了多少个公差。
(907-7)÷3+1=301
【技巧总结】通项公式:第n项=首项+(项数n-1)×公差
项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 练习1:一个等差数列是6、13、20、27、…
(1)它的第30项是多少? (2)622是它的第几项?
【例题2】一个等差数列的第4项为21,第6项为33。求它的第8项。 【思路导航】
步骤一:第4项21比首项多3个公差,第6项33比首项多5个公差。 步骤二:公差=(33-21)÷2=6,首项=21-3×6=45 步骤三:第8项=3+(8-1)×6=45。
【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差,是解此类等差数列问题的一种方法。
练习2:一个等差数列的首项是12,第6项是27。求公差。
【巩固训练1】有一列数1、5、9、13、17、21、…
(1)它的第100个数是多少? (2)493是它的第几项?
【巩固训练2】一个等差数列的第7项是39,第10项是79。它的第13项是多少?
【拓展提高1】一只小虫沿笔直的树干跳着往上行,每跳一次都比上一次升高4厘米。它从离地面10厘米处开始跳,如果把这一处称为小虫的第一落脚点,那么它的第100个落脚点正好是树梢。这棵树高多少厘米?
(提示:设法将题意变成一个等差数列)
【拓展提高2】在124和245之间插入10个数以后,使它成为一个等差数列。这10个数中,最小是几?最大是几?
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