球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的平

R

面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn

n



由相交弦定理得 r1 =

2

1RR22·(2R—) = R(—2) , nnnn

222R2R222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

2

223R3R223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn

2

…………………

n2nRnR2n2

rn = ·(2R— ) = R ·（ — 2）

nnnn

2



R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnnnnnnnn

n2R32n+兀·（ — 2）

nnn

2222n2R3222232n1

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnn

R3123n122232n2

=兀·（2×—）

nn2n

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R31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n

=兀R 〔

3

n112n1n1 —·〕 2

n6n

4n23n1

=兀R · 2

6n

3

=兀R ·（

211

+2） 32n6n11

当n趋近于∞时， = 0，2 = 0，

2n6n23

所以V半球 = 兀R（ + 0 + 0 ）

323

= 兀R

343

V球体体积 = 兀R。

3

3



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