高一物理必修二圆周运动的计算 临界问题

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圆周运动的临界问题



圆周运动中的临界问题的分析方法：首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．

竖直平面内作圆周运动的临界问题

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。（注意：绳对小球只能产生拉力） v v

v

·绳

b a





v2

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用：mg =m  v临界=Rg

R

（2）小球能过最高点条件：v ≥（3）不能过最高点条件：v <

Rg （当v >Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）

Rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）

２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。） 杆

a b

图6-11-2

（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）

（2）当0< v <Rg时，F随v增大而减小，且mg > F > 0（F为支持力） （3）当v =

Rg时，F=0

（4）当v >Rg时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）

注意：管壁支撑情况与杆一样。杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 3.拱桥模型

如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=rg时，FN=0，物体将飞离最高点做平抛运动。若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s=





2R。




【例题分析】

1、绳模型

1、如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （ ）

m A．是拉力

A B．是推力

L C．等于零

O D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

2、如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直

平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取

2

10m/s,求：



(1) 在最高点时，绳的拉力？ (2) 在最高点时水对小杯底的压力？ (3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?



2、杆模型

1、长度为L＝0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（ ）



A.6.0N的拉力 B.6.0N的压力 C.24N的拉力 D.24N的压力

2、如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正

确的有：

最高点的最小速度为 最高点的最小速度为零

平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力

A．小球通过 B．小球通过 C．小球在水 D．小球在水



3、在质量为M的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地

面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A．

MmMm

g B．g

mrmr

MmMg

g D．

mrmr

r m

C．






3、拱桥模型

1、如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是 ( ) A．L1＝L2 B．L1>L2 C．L1<L2 D．前三种情况均有可能

2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，

如图所示。今给小物体一个水平初速度v0

Rg，则小物体将（ ）

A.沿球面下滑至 M 点

B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动

3

3、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则

4汽车的速度为 （ ）

A、15 m／s





B、20 m／s

C、25 m／s

D、30m／s

水平面内作圆周运动的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 【例题分析】

1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( )

A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损 D.以上三种说法都是错误的

2、如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大



O

A

B




3、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 （ ）



4、如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是( ) A．物块处于平衡状态 B．物块受三个力作用

C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘 D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘

5、在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（ ）

A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大 B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小 C．当转台转速增加时，C最先发生滑动 D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

6、如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA=0.2m，rB=0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，g取10 m/s2，

（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围； （2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。

B A



7、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：

⑴当转盘角速度ω1＝⑵当转盘角速度ω2＝



μg

时，细绳的拉力T1。 2r

3μg

时，细绳的拉力T2。 2r

r

o

ω






【课堂训练】



1、一辆汽车在圆弧道路上以不变的速率转过900用了10s的时间，经过的路程是25m， 求（1）汽车的线速度 （2）汽车的角速度 （3）汽车的向心加速度

2、质量为M=1000kg的汽车在半径为R=25m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯时的向心力，静摩擦得最大值为重力的0.3倍，为避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围

3、如图一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部．（取g＝10m/s2） （1）此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？

（2）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ （3）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？








4、现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施（如图），“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开。当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害。设“魔盘”转动的角速度为ω=0.6rad/s，一个质量为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处（盘半径大于1 m）随盘一起转动（没有滑动）。求：

⑴小孩转动的线速度为多大？

⑵小孩受到的向心力有多大？这个向心力是由什么力提供的？



5、如图所示，在以角速度ω=2rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m=5kg的滑块，滑块离转轴的距离r=0.2m，滑块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.5,滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动（二者未发生相对滑动）． （1）滑块运动的线速度大小；

（2）滑块受到静摩擦力的大小和方向．

（3）为使滑块与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过多少？

（4）如图2，若用绳将滑块与转轴相连，且绳子最大承受拉力为75N，为使滑块与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过多少？

ω







图1



ω



O



图2

6、质量为m的小球固定在长为l的绳子一端，并随绳一起绕绳的另一端在竖直平面内做圆周运动，已知小球恰好过最高点,求：(1)小球在最高点的速度大小（2）在最低点的速度大小（3）在最低点小球对绳子的拉力






7、质量为25kg的小孩坐在秋千板上，小孩离栓绳子的横梁2.5m。如果秋千摆到最高点时，绳子与竖直方向夹角为60°，秋千板摆到最低点时，小孩对秋千板的压力是多大？

8、如图，一小球从高为6m处的轨道无初速释放，求：（不计一切摩擦） （1）到达半径为1m的圆形轨道内部顶点A时的速度 （2）在A点时小球对轨道的压力

（3）若要使小球能恰好过最高点，应从多高的地方无初速释放？

9、如图，轨道到处光滑，右侧为一半圆轨道，半径为1m，求： （1）要使小球恰能到达最高点，应以多大的初速度使之上滑？ （2）小球到达最高点后脱离轨道，脱离轨道后做何种运动？ （3）小球落地后离抛出点的水平位移有多大？






10、长为l的轻杆一端固定一个质量为m的小球，以另一端为固定转轴，使之在竖直平面内做圆周运动，求以下两种情况，小球在最高点的速度为多少？

（1）在最高点时，小球对杆的压力为0.5mg（2）在最高点时，小球对杆的拉力为0.5mg

11、质量为m的小球固定在轻杆一端，并随杆一起绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高点时，杆对球的作用力为拉力，大小和重力一样 （1）求小球经过最高点时速度的大小

（2）若在最低点时速度为5gl，求杆对小球的作用力的大小和小球的向心加速度大小

12、如图所示，长为L的细绳一端与一质量为m的小球（可看成质点）相连，可绕过O点的水平转轴在竖直面内无摩擦地转动。在最低点a处给一个初速度，使小球恰好能通过最高点完成完整的圆周运动，求： （1）小球过b点时的速度大小； （2）初速度v0的大小； （3）最低点处绳中的拉力大小。



b

O

a

v0






13、一根长L=60cm的绳子系着一个小球，小球在竖直平面内作圆周运动。已知球的质量m0.5kg，求：

（1）试确定到达最高点时向心力的最小值；

（2）小球能够到达最高点继续做圆周运动的最小速度； （3）当小球在最高点时的速度为3m/s时，绳对小球的拉力。（g=10m/s）



14、绳系着装有水得小水桶，在竖直平面内做圆周运动。水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm，已知在运动过程中水

2

始终没有流出。g取10m/s，求：

（1）水桶运动到最高点时的速率至少多大？

（2）如果运动到最高点时的速率v＝3m/s，水对桶底的压力多大？ （3）如果运动到最低点时的速率v＝3m/s，水对桶底的压力多大？

15、如图所示，圆盘绕轴匀速转动时，在距离圆心0.8m处放一质量为0.4kg的金属块，恰好能随圆盘做匀速圆周运动而不被甩出，此时圆盘的角速度为120rad/min．求：

（1）金属块的线速度和金属块的向心加速度． （2）金属块受到的最大静摩擦力．

（3）若转速增加到4rad／s时，为使小木块刚好与转盘保持相对静止，那么木块应放在离轴多远的地方。



2




16、如图所示，一质量为2Kg的小球从离地h=0.45m的地方沿光滑的直轨道由静止开始下滑，然后沿半径r=0.15m的光滑圆弧运动。（1）当小球运动到圆弧轨道最低点时，小球的速度是多少？小球对轨道的压力是多少？（2）当小球运动到圆弧轨道最高点时，小球的速度是多少？小球对轨道的压力是多少？

h r





【课外训练】



1、在一段半径为25m的圆形水平弯道上,已知路面对汽车轮胎的最大静摩擦力是车重的0.2倍,则汽车拐弯时的速度

2

不能超过多少？（g=10m/s）

2、一个质量为3kg的物体在半径为2m的圆周上以大小为4m/s的速度做匀速圆周运动， 求：（1）角速度是多大？（2）向心加速度是多大？（3）所需向心力是多少？








3、如图所示，一质量为0.6kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求： （1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多大？

（2）当小球在圆上最低点速度为42m/s时，细线的拉力是多大？（g=10m/s）

2







4、汽车在半径R=50m的圆形水平跑道上以v=10m/s的速度匀速行驶。已知汽车的质量为1000 kg，汽车与地面间的

2

最大静摩擦力为车重的k=0.8倍。（g =10m/s）问：

(1)汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？角速度是多少？其向心力是多大？ (2)要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？



5、如图所示，长度为L=0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的铅球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，小球通过最高点时的速度为 2m/s。（g = 10 m/s2），求：铅球过最高点时对轻杆的作用力大小和方向？














6、如图所示，在以角速度ω=2rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m=5kg的滑块，滑块离转轴的距离r=0.2m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动（二者未发生相对滑动）．⑴滑块运动的线速度大小；⑵滑块受到静摩擦力的大小和方向． ω









7、如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心R = 20cm处放置一小物块A，其质量m = 2kg，A与

2

盘面间的最大静摩擦力为其重力的k倍（k=0.5），（g = 10m/s）,求：（1）当圆盘转动的角速度ω = 2rad/s，物块与圆盘间的摩擦力为多大?方向如何?（2）若使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是多大?



A

8、下课后，小丽在运动场上荡秋千。已知小丽的质量为40 kg，每根系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大拉力是

2

300N。如右图，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s。（g =10m/s，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）求：

（1）此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？ （2）此时，小丽对底座的压力是多少？

（3）如果小丽到达最低点的速度为5m/s，绳子会断吗？












9、一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R。甲、乙物体质量分别是M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根长为L(LR)的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）

(Mm)g

A.

(Mm)g

B.

Mm

mLML



ω

(Mm)g

C.

(Mm)g

D.

MLmL



12、 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？





11、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？

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