梅涅劳斯定理

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梅涅劳斯定理（Menelaus's theorem）（梅氏线）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。

即：△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是



2 证明

证明：

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得： AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 3 逆定理

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

1 内容

设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成



的图形形似鸡爪，故形象地称为“鸡爪定理”。 2 证明

∠IBJ=1/2∠B+1/2（180-∠B）=90° 同理∠ICJ=90°所以IBJC四点共圆

而∠IBK=1//2∠B+∠BCK=1/2（∠B+∠A）=∠BIK 所以BK=IK，同理CK=IK，所以K为△BIC外接圆圆心，又J在圆上，所以BK=CK=IK=JK得证

(I为△ABC的内心的充要条件为△IBC，△ICA，△IAB的外心均在△ABC外接圆上）

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