梅涅劳斯定理

2023-04-09 23:09:21   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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梅涅劳斯定理Menelaus's theorem梅氏线)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边ABBCCA或其延长线交于FDE点,那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1

即:△ABC的三边BCCAAB或其延长线上有点PQR,则PQR共线的充要条件是



2 证明

证明:

过点AAGBCDF的延长线于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得: AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 3 逆定理

它的逆定理也成立:若有三点FDE分别在的边ABBCCA或其延长线上,且满AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则FDE三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

1 内容

设△ABC的内心为IA内的旁心为JAI交三角形外接圆于KKI=KJ=KB=KC其中KIKJKBKC组成



的图形形似鸡爪,故形象地称为鸡爪定理 2 证明

IBJ=1/2B+1/2180-B=90° 同理∠ICJ=90°所以IBJC四点共圆

而∠IBK=1//2B+BCK=1/2(∠B+A=BIK 所以BK=IK同理CK=IK所以K为△BIC外接圆圆心,J在圆上,所以BK=CK=IK=JK得证

(I为△ABC的内心的充要条件为△IBC,△ICA,△IAB的外心均在△ABC外接圆上)


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