指数、对数函数公式

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指数函数和对数函数

重点、难点：

重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数

yax，ylogax在a1及0a1两种不同情况。

1、指数函数：

定义：函数yaxa0且a1叫指数函数。

定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数ya

x

中的a必须a0且a1。

x

因为若a0时，y4，当x存在。

1

时，函数值不4

a0，y0x，当x0，函数值不存在。

x

a1时，y1对一切x虽有意义，函数值恒为1，

xx

但y1的反函数不存在，因为要求函数ya中的a0且a1。

1

1、对三个指数函数y2x，y，y10x的图

2

象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征

（1）图象都位于x轴上方； （2）图象都经过点（0，1）；

（3）y2，y10在第一象限内的纵坐

x

x

x



函数性质

（1）x取任何实数值时，都有a0； （2）无论a取任何正数，x0时，y1；

x

x

x0，则a1

（3）当a1时， x

标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，x0，则a1

x

x1x0，则a1y的图象正好相反； 当0a1时， 2x

x0，则a1



x

（4）y2，y10的图象自左到右逐渐（4）当a1时，ya是增函数，

x

x

1

上升，y的图象逐渐下降。

2



x

当0a1时，ya是减函数。

x

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y2和y10相交于(0，1)，当x0

22时，y10的图象在y2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有102及

x

x

x

x

10222。

1


1x

②y2与y的图象关于y轴对称。

2

1x

③通过y2，y10，y三个函数图象，可以画出任意一个函数ya

2

x

x

x

x

（a0且a1）的示意图，如y3的图象，一定位于y2和y10两个图象的中

xxx

11

间，且过点(0，1)，从而y也由关于y轴的对称性，可得y的示意图，即

33

通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

xx

2、对数：

b

定义：如果aN(a0且a1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作blogaN（a是底数，N 是真数，logaN是对数式。）

b

由于Na0故logaN中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由aN

b

(1)blogaN(2)

将（2）代入（1）得alogaNN

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：

3

log12

3



3

解：原式3

1

log122

13

log1

3

22

。

（3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：

M，NR

M

logMlogNM，NR ②logN

③logNnlogNNR

1

NlogNNR ④log

n

①logaMNlogaMlogaN

a

a

a





n

aa

n

aa

2

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