平面向量公式

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平面向量

向量：既有大小,又有方向的量． 数量：只有大小,没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶

三

角

形

不

等

式

：

ababab．

⑷运算性质：

①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐标运算：设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2． 向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为



x1,y1

,

x2,y2

,则

x1x2,y1y2． 向量数乘运算：


⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a． ①aa；

②当0时,a的方向与a的方向相同； 当0时,a的方向与a的方向相反； 当0时,a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y,则ax,yx,y．

向量共线定理：向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba．

设ax1,y1,bx2,y2,其中b0,则当且仅当x1y2x2y10时,向量a、bb0共线．







平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a1e12e2．不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底

分点坐标公式：设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x1,y1,x2,y2,当

xx2y1y2

,12时,点的坐标是1．当1时,为中点公式; 11

平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a和b都是非零向量,则①abab0．②当a与b同向时,abab；当a与b反向时,abab；aaa2a或aaa．③abab． ⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2．

若ax,y,则ax2y2,或ax2y2． 设ax1,y1,bx2,y2,则

2



2





abx1x2y1y20．

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