圆基本性质(竞赛)

2022-03-28 17:18:31   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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圆的基本性质

〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗

1 正确理解和应用圆的点集定义,掌握点和圆的位置关系;

2 熟练地掌握确定一个圆的条件,即圆心、半径;直径;不在同一直线上三点。一个

圆的圆心只确定圆的位置,而半径也只能确定圆的大小,两个条件确定一条直线,三个条件确定一个圆,过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一;

3 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质:同(等)圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍;直径是

最大的弦;圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线都是对称轴;圆是中心对称图形,圆心是对称中心;圆具有旋转不变性;垂径定理及其推论;圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系; 4 掌握和圆有关的角:圆心角、圆周角的定义及其度量;圆心角等于同(等)弧上的

圆周角的2倍;同(等)弧上的圆周角相等;直径(半圆)上的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

5 掌握圆内接四边形的性质定理:它沟通了圆内外图形的关系,并能应用它解决有关 问题;

6 注意:1)垂径定理及其推论是指:一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”

③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制)条理性的记忆,不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据;2)有弦可作弦心距组成垂径定理图形;见到直径要想到它所对的圆周角是直角,想垂径定理;想到过它的端点若有切线,则与它垂直,反之,若有垂线则是切线,想到它被圆心所平分;3)见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角,要想到应用圆内接四边形的性质。 典型例题

1.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm6cm, (B)3cm8cm (C)3cm D8cm

2P与⊙O交于ABCD四点,AQCQ为圆的两条弦,弧BQ的度数为42,

A

B

O

C

D

Q

QD的度数为38,PQ__________

3.如图,⊙O中直径AB垂直于弦CD,若AB=10CD=6,则BE的长为________[1] 4.如图,正方形CDEF的边CD在半圆O的直径上,正方形的过长为1AC=a, BC=b,

P

(1)ab1;(2)ab5;(3)ab1;(4)a2b25,各式中成立的个数为_______[3]



5。如图,四过形内接于⊙O, AD为直径, CBE60, 则圆心角AOC________[120] 6BC为半圆O的直径, AD为半圆上的两点, AB=3, BC=2, 则∠D=___________[150]

1 / 3


7ABCDA:B:C:D5:m:4:nABCD

C________________ C D8 已知A40,弧BE=BC=CD,则ACE___________15

9 在⊙O中,弦AB=24,弦CD=10AB弦的弦心距为5,则CD弦的弦心距为___________ 10

AB为⊙O的直径,弦 CDABEAE=16cmBE=4cm,则CD=________12



A

E

B

AC=________________85 11 12

已知弧AB=

1

圆周,AD平分OAB,交OBD,求ADB的度数___________72 10A



O

已知,ABC中,A70,⊙OABC的三条边所截得弦都相等,

C

BOC_______________(如图)125

B

二.证明题与计算题

1.在⊙O中,直径AB与弦CD相交,分别过BOACD引垂线,垂足分别为EFG,求证:CE=DG

D A

G

FO

BE

C



2.已知:⊙O中,两弦AB=CD,且交于E点,求证:AE=CE AC

E



DB



3.已知,在ABC中,ADBCD,其延长线交⊙OECFABF,交ADG,求证:DE=DG

A

F G B

DC

E



4.已知,ABC内接于圆,DAB上一点,AD=ACEAC延长线上一点,AE=AB,连接DE交圆于F

A

延长ED交圆于G,求证:AF=AG G

D



C

B

F

2 / 3

E


5.已知CD为垂直于直径AB的弦,在CD的延长线上取一点F,连AF交圆于E,求证:AECDEF

C



AB



D

E



F



13 圆内接ABC为正三角形,P在弧BC上,求证:PA=PB+PC C

AB



D

E F

14 已知:四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O,且AD=4AB=CB=1,求CD的长。

C

B

A

DO



9ABC内接于⊙OP为弧AC的中点,PQ//AB,点QBC上,QR//PA,点RAB上,求证:AR=BQ

A



PRO

BCQ

10ABMN是⊙O上四点,由点M引弦MA1MB1它们分别与直线NBNA垂直。求证:AA1//BB1

B1

N

M

A

A1

B

3 / 3


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