有理数知识点归纳

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一正数和负数

⒈正数和负数的概念 负数：比0___的数正数：比0___的数 0既不是___，也不是___

注意：①字母a可以表示任意数，-a不一定是负数，a也不一定是正数；当a表示正数时，-a是______；当a表示负数时，-a是______；当a表示0时，-a仍是0。（判断：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是______的） ②正数有时也可以在前面加“”，有时“”省略不写。所以省略“”的正数的符号是正号。

二有理数

1.有理数的概念

⑴ 正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数

统称为自然数；正数和零统称为非负数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶______和______统称为有理数。 理解：①π是无限不循环小数，不能写成分数形2.有理数的分类

⑴ 有理数的意义分类⑵按正、负来分

正整数 正整数填表： 整数 0 正有理数 负整数正分数

有理数有理数0（0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数

三数轴

⒈数轴的概念

规定了原点、正方向、单位长度的______叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的______；

⑵______、______和______是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一，画数轴时单位长度选取要合适。

2数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的______都可以用数轴上的点来表示，______可用原点右边的点表示，______可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如：数轴上的点π不是有理数）

3利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，____边的数总比____边的数大；

2.具有相反意义的量 在数学，上用正数与负数分别表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则______可以表示具有与该正数相反意义的量。“量”不仅包括“数”，还要带单位。 的意义

⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

正整数

负整数





⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是____，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是____，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是____，无最小的负整数 可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；a是正数，则a>0； ⑵aab=0；

3相反数的几何意义

在数轴上与原点距离______的两点表示的两个数，互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离______。0的相反数对应原点；原点表示____的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。


4相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上______即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简｛如：5ab的相反数是－5a＋ｂ。化简得-5a-b｝；求前面带“-”的数的相反数，也应先用括号括起来再添“-”，然后再化简，如：－5的相反数是――5，化简得5。-（-5）读作－5的相反数。 5相反数的表示方法

⑴一般地，数a 的相反数是____，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 6多重符号的化简 多重符号的化简规律:“”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

如：-｛-[--5]｝＝５ （４个“－”号得正） ―[――５]＝－５ （3个“－”号得负）

五绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的______叫做a的绝对值，记作|a|。 2绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0 可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a；②如果a |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0 |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是______，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0即：

a=0 |a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数。即：若||=a（a>0），则=±a；⑸互为相反数的两数的______相等。即：|-a|=|a|或若ab=0，则|a|=|b|；⑹绝对值相等的两数______或互为______。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a||b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且

只有这几个非负数同时为0）,|a|,a2

都是非负数 4有理数大小的比较

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0 5绝对值的化简

①当a≥0时， |a|=a ；②当a≤0时， |a|=-a 6已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为正数的有理数有____个，它们互为______，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。______的绝对值是本身。

7互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若 a≠0，那么a的倒数是；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数

六有理数的运算

进行有理数的运算时，要先确定符号，再确定绝对值。 1有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数 例：（－５）＋（－１２）＝－（５＋１２）＝－１７ （—３５）＋６５＝＋（６５－３５）＝３ ３８＋（－７２）＝－（７２－３８）＝－３４ （－４）＋０＝－４ 2有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ； （2）加法的结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ） 3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ）

ａ－（－ｂ）＝ａ＋ｂ

例：－７－５＝（－７）＋（－５）＝－１２ ３－（－５）＝３＋５＝８ 4有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定“-”号的个数是奇数时，结果为负，“-”号的个数是偶数时，结果为正。 例：（－６）×９＝－（６×９）＝－５４

（－７）×（－９）＝＋（７×９）＝６３ ５×（－）×（-59）×０＝０

1×（-2）×（-3）×（-4）＝－1×2×3×4＝－24 5有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

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