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几种常见的因式分解方法
1. 提取公因式法 2. 分组分解法
3. 应用公式法,常用的公式有:
(1)a22abb2(ab)2 (2)a2b2(ab)(ab) (3)a3b3(ab)(a2abb2) (4)a33a2b3ab2b3(ab)3
(5)a2b2c22ab2bc2ac(abc)2
(6)a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca) 公式(5)证明如下:
a2b2c22ab2bc2ac (a22abb2)(2ac2bc)c2 (ab)22(ab)cc2 (abc)2
公式(6)证明如下:
a3b3c33abc
a33a2b3ab2b3c33a2b3ab23abc [(ab)3c3](3a2b3ab23abc)
(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc) (abc)[(ab)2(ab)cc23ab] (abc)(a2b2c2abbcca)
在特殊情况下,当abc=0时,就有a3b3c33abc=0,
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于是,
(7)a3b3c33abc
这就是说,如果三个整式的和为零,那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍. 4.十字相乘法
(1)有二次三项式x2pxq,如果常数q能分解成两个因数a、b的积,并使a+b=p,则有
x2pxqx2(ab)xab(xa)(xb)
(2)有二次三项式ax2bxc,如果二次项系数a分解成两个因数a1和a2,常数项c分解成两个因数b1和b2,并且使a1b1a2b2b,则有
ax2bxca1a2x2(a1b2a2b1)xb1b2
(a1xb1)(a2xb2)
(3)二元二次多项式ax2bxycy2dxeyf的因式分解. 设Fax2bxycy2dxeyf
(a1xb1yc1)(a2xb2yc2)
则F[(a1xb1y)c1][(a2xb2y)c2]
[(a1xb1y)(a2xb2y)c1(a2xb2y)c2(a1xb1y)c1c2
可以看出,a1、a2、b1、b2是由ax2bxycy2确定的,这样可对ax2bxycy2
先进行因式分解,再把f分解成因数c1和c2.如果
c1(a2xb2y)c2(a1xb1y)dxey
则F就可分解成两个一次因式a1xb1yc1和a2xb2yc2的积.这种分解方法可视为双十字相乘法.
对一个较复杂的多项式进行因式分解时,经常要综合运用以上方法,有时需要拆项和增减项,但在拆项和增减项时,要注意和原来的多项式保持相等.
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